Equazioni irrazionali.
Buongiorno a tutti. Sto cercando di risolvere delle equazioni irrazionali con la radice anche al denominatore... Qualcuno potrebbe spiegarmi come va fatto il minimo comune multiplo di questa equazione sulla foto?? Grazie in anticipo 
Risposte
Buongiorno Pizzaiolo e benvenuto nel forum
Ti ricordo una delle nostre prime e fondamentali regole, ricopiare tu stesso il testo dell'esercizio e non mettere foto
Questo perchè in futuro la foto sarà rimossa dal server e l'esercizio non servirà più a nessuno
Venendo al tuo problema, il minimo comune multiplo è banalmente
$(x-sqrt(x^2-4))(x+sqrt(x^2-4))$
che è un prodotto notevole ed è uguale a $4$...
ti ricordi il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$? è lui...
Comunque, qui abbiamo delle incognite al denominatore per cui devi fare la CE (condizione di Esistenza) cioè vedere che il denopminatore NON si annulli e che l'argomento della radice sia positivo.
Quindi CE:
$x^2-4>=0$
cioè
$x<=-2$
vel
$x>=2$
Inoltre i denominatori si può vedere con delle disequazioni che NON sono mai nulli... quindi la CE in definitiva è
$x<=-2$
vel
$x>=2$
Adesso torniamo alla disequazione facendo finalmente il minimo comune multiplo
$(x+sqrt(x^2-4)-x+sqrt(x^2-4))/4 = x+3$
$sqrt(x^2-4)=2x+6$
eleviamo al quadrato ambo i membri... ma prima c'è una ULTERIORE condizione di esistenza... prima di elevare al quadrato devi accertarti che il secondo membro sia positivo, quindi aggiungiamo
$2x+6>0$
$x>(-3)$
per cui riassumendo le varie CE e mettendole assieme dobbiamo ottenere un risultato che sia compreso tra -3 e -2 se no lo scartiamo
eleviamo al quadrato e abbiamo
$x^2-4=4x^2+36+24x$
$3x^2+24x+40=0$
che ha come soluzioni
$x= (-12+-2sqrt(6))/3$
valori che equivalgono circa a (-2.36) e (-5.63) e guardando le CE durante l'esercizio accettiamo solo la prima, quella col segno +
Spero di non aver sbagliato calcoli... ciao!
Ti ricordo una delle nostre prime e fondamentali regole, ricopiare tu stesso il testo dell'esercizio e non mettere foto
Questo perchè in futuro la foto sarà rimossa dal server e l'esercizio non servirà più a nessuno
Venendo al tuo problema, il minimo comune multiplo è banalmente
$(x-sqrt(x^2-4))(x+sqrt(x^2-4))$
che è un prodotto notevole ed è uguale a $4$...
ti ricordi il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$? è lui...Comunque, qui abbiamo delle incognite al denominatore per cui devi fare la CE (condizione di Esistenza) cioè vedere che il denopminatore NON si annulli e che l'argomento della radice sia positivo.
Quindi CE:
$x^2-4>=0$
cioè
$x<=-2$
vel
$x>=2$
Inoltre i denominatori si può vedere con delle disequazioni che NON sono mai nulli... quindi la CE in definitiva è
$x<=-2$
vel
$x>=2$
Adesso torniamo alla disequazione facendo finalmente il minimo comune multiplo
$(x+sqrt(x^2-4)-x+sqrt(x^2-4))/4 = x+3$
$sqrt(x^2-4)=2x+6$
eleviamo al quadrato ambo i membri... ma prima c'è una ULTERIORE condizione di esistenza... prima di elevare al quadrato devi accertarti che il secondo membro sia positivo, quindi aggiungiamo
$2x+6>0$
$x>(-3)$
per cui riassumendo le varie CE e mettendole assieme dobbiamo ottenere un risultato che sia compreso tra -3 e -2 se no lo scartiamo
eleviamo al quadrato e abbiamo
$x^2-4=4x^2+36+24x$
$3x^2+24x+40=0$
che ha come soluzioni
$x= (-12+-2sqrt(6))/3$
valori che equivalgono circa a (-2.36) e (-5.63) e guardando le CE durante l'esercizio accettiamo solo la prima, quella col segno +
Spero di non aver sbagliato calcoli... ciao!
La ringrazio
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