Equazioni Goniometriche..ancora!

[pochographic]

Salve...sapete fare quest'esercizio?Però se non vi costa tanto vorrei capirlo,passaggio per passaggio!Vi ringrazio in anticipo!

sen3x - 10cos2x + 10cos(al quadrato)x = 11senx -2

Aggiunto 3 ore 24 minuti più tardi:

No ma infatti scusa per prima..è che dopo un pò lo avevo svolto da solo!Grazie mille!

[BIT5]

Si tratta di applicare le formule di addizione e duplicazione...

Sai che

[math] \sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y [/math]

Scrivendo

[math] \sin 3x = \sin (x+2x) [/math]

Avrai

[math] \sin 3x= \sin x \cos 2x + \sin 2x \cos x [/math]

E quindi applicando le formule di duplicazione di seno e coseno avrai

[math] \sin x (\cos^2 x - \sin^2 x\) + (2 \sin x \cos x)(\cos x) [/math]

ovvero (moltiplicando)

[math] \sin x \cos^2 x - \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x [/math]

Anche il secondo addendo diverra' (sempre per la formula di duplicazione del coseno)

[math] 10 \(\cos^2 x - \sin^2 x \)=10 \cos^2 x - 10 \sin^2 x [/math]

L'espressione diverra' dunque

[math] \sin x \cos^2 x - \sin^3 x + 2 \sin x \cos^2 x - 10 \cos^2 x + 10 \sin^2 x + 10 \cos^2 x = 11 \sin x -2 [/math]

ovvero

[math] - \sin^3 x +10 \sin^2 x + 3 \sin x \cos^2 x = 11 \sin x - 2 [/math]

Riscriviamo

[math] \cos^2 x = 1 - \sin^2 x [/math]

ottenendo

[math] - \sin^3 x +10 \sin^2 x + 3 \sin x (1- \sin^2 x) = 11 \sin x - 2 [/math]

ovvero

[math] - \sin^3 x +10 \sin^2 x + 3 \sin x - 3 \sin^3 x = 11 \sin x - 2 [/math]

Portiamo tutto a sinistra e cambiamo di segno

[math] 4 \sin^3 x - 10 \sin^2 x +8 \sin x -2 = 0 [/math]

dividiamo tutto per 2

[math] 2 \sin^3 x - 5 \sin^2 x + 4 \sin x - 1 = 0 [/math]

A questo punto poniamo

[math] \sin x = t [/math]

l'espressione diverra'

[math] 2t^3-5t^2+4t-1=0 [/math]

Con Ruffini troviamo che questo si annulla per t=1...

Quindi eseguiamo la divisione di Ruffini ottenendo

[math] (t-1)(2t^2-3t+1)=0 [/math]

da cui

[math] t-1=0 \to \sin x -1=0 \to \sin x = 1 \to x= \frac{\pi}{2} +2k \pi [/math]

[math] 2t^2-3t+1=0 [/math]

Risolvo e ottengo

[math] t= \frac{3 \pm 1}{4} [/math]

ovvero

[math] t=1 [/math]

soluzione gia' trovata

[math] t= \frac12 [/math]

da cui

[math] \sin x = \frac12 [/math]

il seno vale 1/2 a

[math] \frac{\pi}{6} [/math]

e a

[math] \frac56 \pi [/math]

(ricordati che ad eccezione di 1 e -1 tutti i valori di seno e coseno compresi tra -1 e 1 hanno due angoli...)

quindi

[math] x= \frac{\pi}{6} +2k \pi \\ \\ \\ x= \frac56 \pi +2k \pi [/math]

se hai dubbi chiedi, se invece e' chiaro NON CAMBIARE IL TESTO DELL'ESERCIZIO! Grazie