[Equazioni goniometriche] Problema nei risultati

[Amos_MHF]

Salve.
Posto qui un'equazione goniometrica. Il mio risultato è diverso da quello riportato nel libro, quindi mi chiedo dove io abbia sbagliato.

$ sqrt(3) sin x = 6cos^(2) x/2 $
$ sqrt(3) sin x - 6cos^(2) x/2 = 0 $

Ho quindi posto $ t = x/2 $

$ 2sqrt(3) cos t sin t - 6cos^(2) t = 0 $

Ho poi diviso per $ 2cos^(2) t $

$ sqrt(3) tan t - 3 = 0 $
$ tan t = 3 sqrt(3) $
$ tan x/2 = 3 sqrt(3) $
$ x/2 = arctan(3 sqrt(3)) + kpi $
$ x = 2arctan(3 sqrt(3)) + 2kpi $

Ebbene, ecco il problema: il libro mi pone due (ovviamente non considerando il $2kpi$);
queste sono
$ x = 2/3pi + 2kpi $ e $ x = pi + 2kpi $

Dove ho sbagliato? È forse illecito dividere per $ cos^(2)t $ ?

[giammaria2]

Effettivamente è illecito, perché può annullarsi; nell'equazione $ 2sqrt(3) cos t sin t - 6cos^(2) t = 0 $ dovevi invece mettere $cos t$ in evidenza e poi applicare la legge di annullamento del prodotto. Nella seconda equazione così ottenuta la divisione è lecita, perché non può più valere zero.
C'è poi un errore di calcolo: da $ sqrt(3) tan t - 3 = 0 $ si ricava $ tan t = sqrt(3) $
La tua equazione poteva anche essere risolta ricordando che $cos^2 x/2=(1+cosx)/2$: ottenevi una facile equazione lineare.

[Amos_MHF]

Capisco.
Grazie mille.
Per l'errore di calcolo... delle volte sono tremendamente sbadato.

[giammaria2]

Come tutti; non preoccuparti. Prego.

[@melia]

Io non avrei fatto il cambio di variabile, avrei usato la bisezione trasformando $cos^2 x/2$ in $(1+cosx)/2$