Equazioni goniometriche parametriche di secondo grado

[HowardRoark]

Devo determinare il numero delle soluzioni, nell'intervallo indicato, di questa equazione, al variare del parametro in $R$:

$ sin^2 x + ksinx -1=0$
$0
Devo usare il metodo della parabola fissa.


Pongo $sinx = t$, quindi il sistema diventa:

$t^2 + kt -1= 0$
$0
Pongo $y=t^2$, ottenendo:

$y= t^2$
$y +kt -1= 0$
$0
Imposto un sistema di assi cartesiani, dove nell'asse delle ascisse considero i valori di $t$.

$y=t^2$ è una parabola con vertice nell'origine; date le restrizioni, considero soltanto l'arco di parabola tra i punti $A(0;0)$ e $B(1;1)$

$y= 1-kt$ è l'equazione di un fascio di rette parallelo all'asse $x$.

Quindi in sostanza devo determinare,al variare del parametro $k$ in $R$ e considerando l'intervallo $0
Non riesco a capire però il procedimento per risolvere questo problema...

[mgrau]

Il centro del fascio, $(0;1)$ è interno alla parabola, e ogni retta del fascio interseca la parabola in due punti; o, se consideri solo l'intervallo $0 0$, e nessuna per $k<0$

[HowardRoark]

Ovviamente sopra ho sbagliato: $y=1-kt$ è l'equazione di un fascio proprio di rette con centro $(0;1)$.

Mi è chiaro anche che per $k>0$ si ha una soluzione; quello che non ho capito bene è come fare la discussione in casi come questo.

Ponendo k negativo, mi accorgo subito che non può essere una soluzione, ma come faccio a dedurlo senza andare a tentativi?

[mgrau]

Stai cercando le intersezioni di $y=1-kt$ e $y = t^2$, con la condizione che $0 Le intersezioni sono $t=(-k+-sqrt(k^2+4))/2$
Escludiamo subito il caso con il meno, che porta a $t<0$
Il caso col più porta alla disequazione $-k+sqrt(k^2+4)<2->sqrt(k^2+4)<2+k$
Elevando al quadrato (sarà lecito? mi perdonino i puristi...) abbiamo $k^2+4 k>0$

[HowardRoark]

L'unica cosa che nn mi è chiara è la disequazione $-k+sqrt(k^2+4)<2$: quel 2 cosa rappresenta?

[mgrau]

Sarebbe $t= ( -k+sqrt(k^2+4))/2<1$

[HowardRoark]

Vero...

Grazie mille, tutto chiaro!