Equazioni goniometriche elementari
Buona sera a tutti, ho dei problemi con le seguenti equazioni goniometriche:
$sen(3x+pi/2)=cos2x$
$sen(alpha)=cos(\beta)$ quando $alpha+\beta=pi/2$ e quando $\beta-alpha=pi/2$
Distinguo i due casi:
1) $3x+pi/2+2x=pi/2+2kpi$
$5x=2kpi$
$x=(2kpi)/5$
2) $2x-3x-pi/2=pi/2+2kpi$
$-x=pi+2kpi$
$x=-pi-2kpi$
Perché le soluzioni del secondo caso, non sono riportate sul risultato del libro?
Seconda equazione:
$tg(x-pi/3)=ctg(pi/2-2x)$
prima impongo le C.E., che mi danno $x!=(5pi)/6+kpi$ $^^$ $x!=pi/4-(kpi)/2$
$tgalpha=ctg\beta$ quando $alpha+\beta=pi/2$ e quando $alpha+\beta=(3pi)/2$
Distinguo i due casi:
$x-pi/3+pi/2-2x=pi/2+kpi$
$-x=pi/3+kpi$
$x=-pi/3-kpi$
$x-pi/3+pi/2-2x=(3pi)/2+kpi$
$x=-(4pi)/3-kpi$
Il risultato non combacia con quello del libro, ed inoltre uno dei due casi non è presente nelle soluzioni.
Grazie a tutti per l'aiuto.
$sen(3x+pi/2)=cos2x$
$sen(alpha)=cos(\beta)$ quando $alpha+\beta=pi/2$ e quando $\beta-alpha=pi/2$
Distinguo i due casi:
1) $3x+pi/2+2x=pi/2+2kpi$
$5x=2kpi$
$x=(2kpi)/5$
2) $2x-3x-pi/2=pi/2+2kpi$
$-x=pi+2kpi$
$x=-pi-2kpi$
Perché le soluzioni del secondo caso, non sono riportate sul risultato del libro?
Seconda equazione:
$tg(x-pi/3)=ctg(pi/2-2x)$
prima impongo le C.E., che mi danno $x!=(5pi)/6+kpi$ $^^$ $x!=pi/4-(kpi)/2$
$tgalpha=ctg\beta$ quando $alpha+\beta=pi/2$ e quando $alpha+\beta=(3pi)/2$
Distinguo i due casi:
$x-pi/3+pi/2-2x=pi/2+kpi$
$-x=pi/3+kpi$
$x=-pi/3-kpi$
$x-pi/3+pi/2-2x=(3pi)/2+kpi$
$x=-(4pi)/3-kpi$
Il risultato non combacia con quello del libro, ed inoltre uno dei due casi non è presente nelle soluzioni.
Grazie a tutti per l'aiuto.
Risposte
Esercizio 1
la seconda relazione è $alpha-beta=pi/2$ e non viceversa. La soluzione che ottieni e compresa nella prima soluzione ( in cui ti sei dimenticato il k)
Esercizio 2
Il secondo caso non serve in quanto già compreso nel primo: la periodicità delle due funzioni è $pi$ e il secondo caso è solo il primo spostato di un periodo.
Per il fatto che la soluzione non combacia:
- è inutile scrivere $-k$, visto che $k in ZZ$ è un numero qualsiasi è inutile cambiarlo di segno, quindi il periodo della soluzione, anche se cambi segno resta con il segno $+$,
- se non combacia neppure il valore dell'angolo aggiungigli un pariodo.
la seconda relazione è $alpha-beta=pi/2$ e non viceversa. La soluzione che ottieni e compresa nella prima soluzione ( in cui ti sei dimenticato il k)
Esercizio 2
Il secondo caso non serve in quanto già compreso nel primo: la periodicità delle due funzioni è $pi$ e il secondo caso è solo il primo spostato di un periodo.
Per il fatto che la soluzione non combacia:
- è inutile scrivere $-k$, visto che $k in ZZ$ è un numero qualsiasi è inutile cambiarlo di segno, quindi il periodo della soluzione, anche se cambi segno resta con il segno $+$,
- se non combacia neppure il valore dell'angolo aggiungigli un pariodo.
Per quanto riguarda l'esercizio 1 non ho capito perché bisogna fare $alpha-\beta$ l'unica cosa che mi venga da pensare è che $alpha$ sia $>\beta$, se così fosse, come faccio a capirlo? Altrimenti, se così non fosse, in base a cosa bisogna fare in quel modo?
Per quanto riguarda l'esercizio 2, l'angolo $pi/3$ combacia. Il fatto dei segni l'ho capito.
L'unica cosa che mi risulta "difficile" è comprendere i risultati del libro che ,quasi sempre,sono dei riassunti. C'è un modo affinché acquisti padronanza per tale cosa?
Grazie dell'aiuto!
Per quanto riguarda l'esercizio 2, l'angolo $pi/3$ combacia. Il fatto dei segni l'ho capito.
L'unica cosa che mi risulta "difficile" è comprendere i risultati del libro che ,quasi sempre,sono dei riassunti. C'è un modo affinché acquisti padronanza per tale cosa?
Grazie dell'aiuto!
"Francesco.93":Per le formule degli archi associati.
Per quanto riguarda l'esercizio 1 non ho capito perché bisogna fare $alpha-\beta$
"Francesco.93":
Per quanto riguarda l'esercizio 2, l'angolo $pi/3$ combacia. Il fatto dei segni l'ho capito.
Se hai $-x= pi/3+ kpi$ sai che $k$ è un numero intero qualsiasi. OK? Allora scrivere $x= -pi/3- kpi$ o scrivere $x= -pi/3+ kpi$ è la stessa cosa, perché l'opposto di un numero qualsiasi è anche lui un numero qualsiasi.
"Francesco.93":
L'unica cosa che mi risulta "difficile" è comprendere i risultati del libro che ,quasi sempre,sono dei riassunti. C'è un modo affinché acquisti padronanza per tale cosa?
Rappresenta graficamente le tue soluzioni e i risultati e controlla che indichino gli stessi angoli.
Tutto chiaro tranne sempre quell' $alpha-\beta$... mi spiego: $\beta-alpha$ l'ho preso dalla teoria del libro!, è questo il problema!
Comunque avevo scritto ho capito per quanto riguarda il fatto dei segni
Comunque avevo scritto ho capito per quanto riguarda il fatto dei segni
Scusa, nella fretta...
Controlla sul tuo libro di teoria, secondo me hai scambiato l'angolo del seno con quello del coseno.
Controlla sul tuo libro di teoria, secondo me hai scambiato l'angolo del seno con quello del coseno.
Mi è venuta un'idea, così tagliamo la testa al toro: sei d'accordo che $sin(alpha+pi/2)=cos alpha$? Allora $sin(3x+pi/2)=cos(2x)$ la trasformiamo in $cos3x=cos2x$, e questa viene di sicuro!
Giusto! sempre per la regola degli angoli associati!
Comunque le testuali parole del libro sono: Siano AOP ed AOP' due angoli orientati di misura rispettivamente $alpha$ e $\beta$, la cui differenza è pari a un angolo retto, cioé $\beta-alpha=pi/2$. Ho interpretato male?
Comunque le testuali parole del libro sono: Siano AOP ed AOP' due angoli orientati di misura rispettivamente $alpha$ e $\beta$, la cui differenza è pari a un angolo retto, cioé $\beta-alpha=pi/2$. Ho interpretato male?
Non mi pare, ma quale angolo al seno e quale al coseno?
Prova ad assegnare ad $alpha $ e a $beta$ due valori tipo $alpha=pi/3$ e $beta=5/6 pi$. Vale la relazione $beta-alpha=pi/2$, ma $sin beta=cos alpha$ e $sin alpha=-cos beta$, l'angolo $beta$ è quello del seno, mantenendo lq relazione che hai scritto.
Prova ad assegnare ad $alpha $ e a $beta$ due valori tipo $alpha=pi/3$ e $beta=5/6 pi$. Vale la relazione $beta-alpha=pi/2$, ma $sin beta=cos alpha$ e $sin alpha=-cos beta$, l'angolo $beta$ è quello del seno, mantenendo lq relazione che hai scritto.
Mi scuso se rispondo solo ora, ma avevo perso d'occhio il post. In questi giorni ho risolto esercizi del genere e, tutti, li ho risolti con il "metodo" che mi hai detto tu, ossia $alpha-\beta$ , tuttavia non riesco a capire ancora perché bisogna fare in questo modo, e non nell'altro. Per quanto riaguarda l'esempio postato da te, sono d'accordo...
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