Equazioni goniometriche

[violetta96]

Non riesco a risolvere queste due equazioni goniometriche:

cos(2x-5/7 π) = cos(4x-π/4)

cos 6x = - cos 4x

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ricordando che due angoli hanno lo stesso coseno se sono uguali o se
sono uno l'opposto dell'altro, a meno di un un multiplo intero di

[math]2\,\pi\\[/math]

:

i)

[math]\cos\left(2\,x - \frac{5}{7}\,\pi\right) = \cos\left(4\,x - \frac{\pi}{4}\right) [/math]

se

[math]2\,x - \frac{5}{7}\,\pi = 4\,x - \frac{\pi}{4} + 2\,k\,\pi[/math]

,
da cui

[math]x = - \frac{13}{56}\pi - k\,\pi[/math]

, oppure se

[math]2\,x - \frac{5}{7}\,\pi = - 4\,x + \frac{\pi}{4} + 2\,k\,\pi[/math]

, da
cui

[math]x = \frac{9}{56}\,\pi + k\,\frac{\pi}{3}\\[/math]

;

ii)

[math]\cos\left(6\,x\right) = \cos\left(4\,x + \pi\right) [/math]

se

[math]6\,x = 4\,x + \pi + 2\,k\,\pi[/math]

,
da cui

[math]x = \frac{\pi}{2} + k\,\pi[/math]

, oppure se

[math]6\,x = - 4\,x - \pi + 2\,k\,\pi[/math]

,
da cui

[math]x = -\frac{\pi}{10} + k\,\frac{\pi}{5}\\[/math]

;

dove, ovviamente,

[math]k \in \mathbb{Z}[/math]

. Tutto qui. ;)