Equazioni goniometriche
Salve,non riesco a risolvere la seguente equazione goniometrica:
$ctg^2x-8senx+1=0$
$(cos^2x)/(sen^2x) -8senx+1=0$
$(cos^2x-8sen^3x+sen^2x)/(sen^2x)=0$
C.E.
$x!=k180$
$8sen^3-1=0$
$(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0
Per la legge dell'annullamento del prodotto:
$2senx-1=0$
$senx=1/2$ ---> $x=30+k360 ; x=150+k360 $
Poi faccio l'altro:
$4sen^2-2senx+1=0$
Ma il delta mi viene <0!
Quindi avrò sbagliato qualcosa...
ps il libro riporta i risultati:
$x=30+k360 ; x=150+k360$
$ctg^2x-8senx+1=0$
$(cos^2x)/(sen^2x) -8senx+1=0$
$(cos^2x-8sen^3x+sen^2x)/(sen^2x)=0$
C.E.
$x!=k180$
$8sen^3-1=0$
$(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0
Per la legge dell'annullamento del prodotto:
$2senx-1=0$
$senx=1/2$ ---> $x=30+k360 ; x=150+k360 $
Poi faccio l'altro:
$4sen^2-2senx+1=0$
Ma il delta mi viene <0!
Quindi avrò sbagliato qualcosa...
ps il libro riporta i risultati:
$x=30+k360 ; x=150+k360$
Risposte
E' quasi tutto giusto. Ci sono solo un paio di errori
Comunque, (ponendo $y=sin(x)$) anche $4y^2+2y+1=0$ ha $Delta<0$. Non è sbagliato
Vuol dire che non ha soluzioni. Fine
Quindi la soluzione finale è $x=30+k*360$, $k in ZZ$ $vv$ $x=150+k*360$, $k in ZZ$
Si poteva fare anche più velocemente:
$8sin^3x-1=0 => sin^3x=1/8=> root3(sin^3x)=root3(1/8)=> sinx=1/2$
"shintek20":In realtà sarebbe $(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$
$8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
Comunque, (ponendo $y=sin(x)$) anche $4y^2+2y+1=0$ ha $Delta<0$. Non è sbagliato
Vuol dire che non ha soluzioni. Fine
Quindi la soluzione finale è $x=30+k*360$, $k in ZZ$ $vv$ $x=150+k*360$, $k in ZZ$
Si poteva fare anche più velocemente:
$8sin^3x-1=0 => sin^3x=1/8=> root3(sin^3x)=root3(1/8)=> sinx=1/2$
Il secondo fattore della differenza di cubi NON è mai scomponibile in $RR$, quindi l'equazione di secondo grado associata non ha soluzioni reali, è giusto che il $Delta$ sia negativo.
Potevi risolvere l'equazione come una banale binomia di grado dispari: $ax^(2n+1)=b$ diventa $x^(2n+1)=b/a$ e poi $x=root(2n+1)(b/a)$ che nel tuo caso diventa $8 sin^3 x-1=0$ poi $sin^3x=1/8$ da cui $sinx=1/2$.
Per le binomie di grado pari, invece, da $ax^(2n)=b$ ottieni $x^(2n)=b/a$ e poi $x=+-root(2n)(b/a)$
Potevi risolvere l'equazione come una banale binomia di grado dispari: $ax^(2n+1)=b$ diventa $x^(2n+1)=b/a$ e poi $x=root(2n+1)(b/a)$ che nel tuo caso diventa $8 sin^3 x-1=0$ poi $sin^3x=1/8$ da cui $sinx=1/2$.
Per le binomie di grado pari, invece, da $ax^(2n)=b$ ottieni $x^(2n)=b/a$ e poi $x=+-root(2n)(b/a)$
Ok grazie mille ho capito =)
Avrei potuto risolverla anche più velocemente...ci avevo pensato di fare in quel modo ,ma avevo paura di sbagliare XD.
Cmq non riesco invece a capire,anche se non ha importanza,perchè:
$8sen^3x-1=0$ Diventa $(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$ e non quello che avevo scritto io
$8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
Avrei potuto risolverla anche più velocemente...ci avevo pensato di fare in quel modo ,ma avevo paura di sbagliare XD.
Cmq non riesco invece a capire,anche se non ha importanza,perchè:
$8sen^3x-1=0$ Diventa $(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$ e non quello che avevo scritto io
$8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
E poi non riesco a finire questa:
$(cos2x)/(sqrt2cos(pi/4-x)) +sen(pi/2-x)=1$
$(cos2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$
$(cos^2x-sen^2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$
Scrivo il numeratore come differenza di quadrati per poi semplificarlo con denominatore:
$2cosx-senx-1=0$
Applico le parametriche
C.E. $1+tg^2x/2!=0$
Fino ad ottenere l'equazione finale:
$3tg^2x/2+2tgx/2-1=0$
Con i risultati:
$x=1/3 ; x=-1$
E quindi penso di aver sbagliato,anche perchè il libro riporta i risultati:
$x=3/2pi+2kpi; x=\alpha+2kpi; alpha=arctg(3/4)(0
$(cos2x)/(sqrt2cos(pi/4-x)) +sen(pi/2-x)=1$
$(cos2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$
$(cos^2x-sen^2x)/(cosx+senx) +cosx-1=0$
Scrivo il numeratore come differenza di quadrati per poi semplificarlo con denominatore:
$2cosx-senx-1=0$
Applico le parametriche
C.E. $1+tg^2x/2!=0$
Fino ad ottenere l'equazione finale:
$3tg^2x/2+2tgx/2-1=0$
Con i risultati:
$x=1/3 ; x=-1$
E quindi penso di aver sbagliato,anche perchè il libro riporta i risultati:
$x=3/2pi+2kpi; x=\alpha+2kpi; alpha=arctg(3/4)(0
Se $tg\ \alpha/2=1/3$ allora $tg alpha=3/4$, quindi la tua soluzione è corretta.
Per la differenza di cubi, basta eseguire la moltiplicazione per rendersi conto della correttezza o no della scomposizione.
Per la differenza di cubi, basta eseguire la moltiplicazione per rendersi conto della correttezza o no della scomposizione.
"shintek20":Semplicemente perchè la formula corretta della differenza di due cubi è la seguente:
non riesco a capire perchè $8sen^3x-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x+2senx+1)=0$ e non $8sen^3-1=0=>(2senx-1)(4sen^2x-2senx+1)=0$
$a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)$
edit:anticipato
"@melia":
Se $tg\ \alpha/2=1/3$ allora $tg alpha=3/4$, quindi la tua soluzione è corretta.
Non capisco il passaggio che fai...
Applico la formula di duplicazione della tangente:
$tg 2x=(2tgx)/(1-tg^2x)$ se $tgx=1/3$ allora $tg 2x=(2*1/3)/(1-1/9)=2/3:8/9=2/3*9/8=3/4$
$tg 2x=(2tgx)/(1-tg^2x)$ se $tgx=1/3$ allora $tg 2x=(2*1/3)/(1-1/9)=2/3:8/9=2/3*9/8=3/4$
Ok grazie e devo fare la stessa cosa per l'altra soluzione $x=-1$ ?
L'altra è anche più facile perché è un valore noto della tangente.
Mmmh...Ok grazie,non l'ho capita bene,però va bene lo stesso...ed infine ci sarebbe questa che non riesco a continuare:
$2-cos2x-2sen^(2)2x=0$
Applico le formule di duplicazione e moltiplico il 2 per $(cos^2x+sen^2x)$
Fino ad arrivare qui:
$cos^2x+3sen^2x-8sen^2xcos^2x=0
E ora come faccio?
$2-cos2x-2sen^(2)2x=0$
Applico le formule di duplicazione e moltiplico il 2 per $(cos^2x+sen^2x)$
Fino ad arrivare qui:
$cos^2x+3sen^2x-8sen^2xcos^2x=0
E ora come faccio?
Propongo, invece, di trasformare $sin^2 2x$ in $1-cos^2 2x$ e di risolvere l'equazione di secondo grado di incognita $cos 2x$
"shintek20":
Ok grazie,non l'ho capita bene, però va bene lo stesso...
No che non va bene. Qual è il problema?Dov'è che hai dei dubbi?
Ok grazie l'ultima è risultata.
Grazie Gi8
, comunque non capisco perchè il libro mette quel risultato...
Grazie Gi8
, comunque non capisco perchè il libro mette quel risultato...
Perchè se $tg(alpha/2)=-1$, allora $alpha/2=-pi/4 +k*pi=> alpha=-pi/2+2kpi=> alpha=3/2pi +2kpi$
"Gi8":
Perchè se $tg(alpha/2)=-1$, allora $alpha/2=-pi/4 +k*pi=> alpha=-pi/2+2kpi=> alpha=3/2pi +2kpi$
Ma perchè $alpha=-pi/2+2kpi=> alpha=3/2pi +2kpi$?
Ok si ho capito anche questa...Ho un ultimissima confusione perchè per una soluzione abbiamo utilizzato la formule della duplicazione e per l'altra no?
L'avresti potuta usare per entrambe, ma è solo una complicazione nel caso di angoli noti.
Ok grazie 1000!
Prego, ciao
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