Equazioni Goniometriche (62905)

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Salve...sapete fare quest'esercizio?Però se non vi costa tanto vorrei capirlo,passaggio per passaggio!Vi ringrazio in anticipo!

sen x - tg x/2 = cos x

Non riesco proprio ad iniziare..forse usando la formula di Bisezione per la TG?
Aiuto! :D

[BIT5]

Ricordando che

[math] \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+ \cos x} [/math]

Avremo

[math] \sin x - \frac{\sin x}{1+ \cos x} = \cos x [/math]

minimo comune multiplo

[math] \frac{\sin x (1+ \cos x) - \sin x}{1+ \cos x } = \frac{\cos x ( 1+ \cos x)}{1+ \cos x} [/math]

Semplificando il denominatore (posto

[math] \cos x + 1 \ne 0 \to \cos x \ne -1 \to \cos x \ne \cos ( \pi + 2k \pi) \to x \ne \pi +2k \pi [/math]

Avrai

[math] \sin x + \sin x \cos x - \sin x = \cos x + \cos^2 x [/math]

Ovvero

[math] \cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x = 0 [/math]

Raccogli cos x e avrai

[math] \cos x ( \cos x - \sin x + 1 \) = 0 [/math]

E' una moltiplicazione pertanto risolvi fattore per fattore:

[math] \cos x = 0 \to x= \frac{\pi}{2} + k \pi [/math]

(il coseno vale 0 a 90 e 270)

secondo fattore:

[math] \cos x - \sin x +1=0 [/math]

Grazie alla relazione fondamentale della trigonometria riscrivi

[math] \sin x = \pm \sqrt{1- \cos^2 x} [/math]

Ottenendo ancora due equazioni distinte (una col + una col meno) :

[math] \cos x + \sqrt{1- \cos^2 x} + 1 = 0 \\ \\ \\ \sqrt{1- \cos^2 x} = -1- \cos x [/math]

Da cui elevi al quadrato (discutendo la radice ovvero cos^2 x