Equazioni goniometriche (124809)

[AlexTracer]

Il libro da tre soluzioni:

[math]x=k\pi[/math]

[math]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/math]

[math]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi[/math]

Sono riuscito ad arrivare solo alla prima, dato che semplificando l' equazione data giungo all' equazione elementare

[math]senx=0[/math]

, ma le altre due soluzioni? Mi spiegate per favore come arrivarci? E poi, sono dei casi particolari che posso trovare ogni tanto oppure c'è una regola?

Grazie, buon anno e buona Befana :)

[ciampax]

Usiamo un po' di relazioni per gli archi associati: abbiamo

[math]\sin\left(\pi/2-x\right)=\cos x\\ \cos(-x)=\cos x\\ \sin(x-\pi)=-\sin x[/math]

pertanto l'equazione diventa

[math]2(1-\cos x)(1+\cos x)=\sin x\\ 2(1-\cos^2 x)=-\sin x\\ 2\sin^2 x=\sin x\\ (2\sin x-1)\sin x=0[/math]

e quindi di divide nelle due equazioni

[math]\sin x=0\ \Rightarrow\ x=k\pi\\ \sin x=1/2\ \Rightarrow\ x=\pi/6+2k\pi,\ x=5\pi/6+2k\pi[/math]

[AlexTracer]

grazie, molto utile ^^