Equazioni esponenziali risolvibili con logaritmi
Ciao a tutti, ho un problema a risolvere queste equazioni esponenziali, riuscite a dirmi cosa sbaglio.
Esercizio 1:
$ 3^(x+1)– 7^(2-x) = 3*7^(1-x) – 2*3^(x+2) $
Sfrutto le proprietà delle potenze
$ 3^(x) * 3^(1)- 7^2/7^x =3*7^1/7^x - 2*3^(x) * 3^(2) $
Solitamente raccoglievo il termine con l’incognita ma qui non so proprio come procedere
Il risultato del libro è :
$ (1-log3)/(log3+log7) $
Esercizio 2:
$ 3^(x) + 5*3^(x+1) =2^(2x-1) $
Raccolgo il $ 3^(x) $
$ 3^(x)(1+5*3^1)=2^(2x-1) $
$ 3^x*16=2^(2x-1) $ a questo punto applico i log a entrambi i membri
$ Log3^x + log16=log2^(2x-1) $
Sfrutto le proprietà dei logaritmi e pertanto
$ xlog3 + 5log2 = (2x-1)log2 $
$ xlog3 + 5log2 = 2xlog2 – log2 $
$ xlog3 – xlog2^2 = - 5log2-log2 $
raccolgo la x e diventa
$ x (log3-log2^2) =-log2^2 – log2 $
il risultato però è: $ (5log2)/(2log2-log3) $
Esercizio 3:
$ 2^(x+3) – 2^(x+2) + 20*2^x = 168 $
Applico i log a tutti i membri
$ Log2^(x+3) – log2^(x+2) + log20 + log2^x = log 168 $
$ xlog2 + 3log2 – xlog2 – 2log2 + log20 + xlog2 = log 168 $
$ xlog2=log168 + log2-log20 $ E qui non so come procedere
Il risultato è: $ log7/log2 $
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto. Ciao!
Esercizio 1:
$ 3^(x+1)– 7^(2-x) = 3*7^(1-x) – 2*3^(x+2) $
Sfrutto le proprietà delle potenze
$ 3^(x) * 3^(1)- 7^2/7^x =3*7^1/7^x - 2*3^(x) * 3^(2) $
Solitamente raccoglievo il termine con l’incognita ma qui non so proprio come procedere
Il risultato del libro è :
$ (1-log3)/(log3+log7) $
Esercizio 2:
$ 3^(x) + 5*3^(x+1) =2^(2x-1) $
Raccolgo il $ 3^(x) $
$ 3^(x)(1+5*3^1)=2^(2x-1) $
$ 3^x*16=2^(2x-1) $ a questo punto applico i log a entrambi i membri
$ Log3^x + log16=log2^(2x-1) $
Sfrutto le proprietà dei logaritmi e pertanto
$ xlog3 + 5log2 = (2x-1)log2 $
$ xlog3 + 5log2 = 2xlog2 – log2 $
$ xlog3 – xlog2^2 = - 5log2-log2 $
raccolgo la x e diventa
$ x (log3-log2^2) =-log2^2 – log2 $
il risultato però è: $ (5log2)/(2log2-log3) $
Esercizio 3:
$ 2^(x+3) – 2^(x+2) + 20*2^x = 168 $
Applico i log a tutti i membri
$ Log2^(x+3) – log2^(x+2) + log20 + log2^x = log 168 $
$ xlog2 + 3log2 – xlog2 – 2log2 + log20 + xlog2 = log 168 $
$ xlog2=log168 + log2-log20 $ E qui non so come procedere
Il risultato è: $ log7/log2 $
Grazie a tutti in anticipo per l'aiuto. Ciao!
Risposte
Esericzio 1
$ 3^(x) * 3^(1)- 7^2/7^x =3*7^1/7^x - 2*3^(x) * 3^(2) $ devi sommare un po' di termini
$3^(x) * 3^(1)+2*3^(x) * 3^(2)=3*7^1/7^x+ 7^2/7^x$
$21*3^x=70/7^x$ moltiplica per $7^x$ e dividi per 21
$3^x*7^x=70/21$ cioè $3^x*7^x=10/3$ e passando tutto al logaritmo in base 10 viene subito la soluzione cercata.
Esericzio 2
fino a qui $Log3^x + log16=log2^(2x-1)$ va tutto bene, poi $16=2^4$ e non alla quinta per cui diventa prima
$xlog3 + 4log2 = 2xlog2 – log2$ e poi
$xlog3 – xlog2^2 = - 4log2-log2$ da cui $ x(log3 – 2log2) = - 5log2$ quindi $x=(- 5log2)/(log3 – 2log2)$ che è il risultato del libro.
Esercizio 3
Qui non ci siamo proprio, il logaritmo di una somma NON È la somma dei logaritmi.
Ritenta.
$ 3^(x) * 3^(1)- 7^2/7^x =3*7^1/7^x - 2*3^(x) * 3^(2) $ devi sommare un po' di termini
$3^(x) * 3^(1)+2*3^(x) * 3^(2)=3*7^1/7^x+ 7^2/7^x$
$21*3^x=70/7^x$ moltiplica per $7^x$ e dividi per 21
$3^x*7^x=70/21$ cioè $3^x*7^x=10/3$ e passando tutto al logaritmo in base 10 viene subito la soluzione cercata.
Esericzio 2
fino a qui $Log3^x + log16=log2^(2x-1)$ va tutto bene, poi $16=2^4$ e non alla quinta per cui diventa prima
$xlog3 + 4log2 = 2xlog2 – log2$ e poi
$xlog3 – xlog2^2 = - 4log2-log2$ da cui $ x(log3 – 2log2) = - 5log2$ quindi $x=(- 5log2)/(log3 – 2log2)$ che è il risultato del libro.
Esercizio 3
Qui non ci siamo proprio, il logaritmo di una somma NON È la somma dei logaritmi.
Ritenta.
"@melia":
Qui non ci siamo proprio, il logaritmo di una somma NON È la somma dei logaritmi.
Ritenta.
A parte questa cosa che è fondamentale, se ci pensi l'esercizio tre è il più semplice tra quelli proposti come linearità di pensiero. Che so, un $2^x = t$ per fare un es.?
Ciao a tutti. scusate il ritardo ma causa lavoro mi sono rimesso a fare gli esercizi una settimana fa!
Ringrazio per le spiegazioni chiarissime, ho provato altri esercizi con una discreta percentuale di successo, per gli altri su cui ho fallito invece tornerò presto a chiedere aiuto!!
P.S : L'ultimo esercizio, il 3, effettivamente era il più semplice di tutti! Mi sono veramente perso in un bicchier d'acqua!
Ringrazio per le spiegazioni chiarissime, ho provato altri esercizi con una discreta percentuale di successo, per gli altri su cui ho fallito invece tornerò presto a chiedere aiuto!!
P.S : L'ultimo esercizio, il 3, effettivamente era il più semplice di tutti! Mi sono veramente perso in un bicchier d'acqua!
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