Equazioni esponenziali alcuni dubbi
Buonasera, ho alcuni dubbi su delle equazioni esponenziali, cortesemente qualcuno potrebbe aiutarmi?
1) $2^{2x}$+$2^{x+1}$$-1$=$0$ $rarr$ $(2^{x})^{2}$+$2^{x}*2^{1}$-1=0 $rarr$ $2^{x}=t$ $rarr$ $t^2$+$2t$-1=0
$x = \frac{-2\pm \sqrt{4 + 4}}{2}$
Da qua in poi non so più come andare avanti, il risultato dovrebbe venire $x$= $log_2 sqrt(2)$ - $1$
2)$1/7^{2x}$ - $1/(7^{x}-1)^2>$ = $-2/(7^{x}-7^{2x})$
Questa non so proprio da che parte prenderla
Il risultato dovrebbe venire $x =-$$ln 2/ln 7$
3) $3^{x} = 5^{3*(x+1)}$ $rarr$ $3^{x} = 5^{3x} * 5^3$ $rarr$ $3^{x}/5^{3x} = 5^{3x}$ $rarr$ $ln 3^{x} - ln 5^{3x} = ln 5^3$
$rarr$ $3x= 3*ln5/(ln 3 - ln 5)$ divido per 3 è il risultato mi viene $x= ln5/(ln 3 - ln 5)$
MA IL RISULTATO CHE METTE IL LIBRO è $x= 3*ln5/(ln 3 - ln 5)$. Sono ore che ci sto dietro e non capisco dove sto sbagliando!
4)$3^{2x - 1} + 3^{2x - 1} = -2*5^{2x - 1}$ RISULTATO $x=1/2$
Anche questa come la nr. 2, non riesco a capire per dove prenderla.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Buona serata
1) $2^{2x}$+$2^{x+1}$$-1$=$0$ $rarr$ $(2^{x})^{2}$+$2^{x}*2^{1}$-1=0 $rarr$ $2^{x}=t$ $rarr$ $t^2$+$2t$-1=0
$x = \frac{-2\pm \sqrt{4 + 4}}{2}$
Da qua in poi non so più come andare avanti, il risultato dovrebbe venire $x$= $log_2 sqrt(2)$ - $1$
2)$1/7^{2x}$ - $1/(7^{x}-1)^2>$ = $-2/(7^{x}-7^{2x})$
Questa non so proprio da che parte prenderla
Il risultato dovrebbe venire $x =-$$ln 2/ln 7$
3) $3^{x} = 5^{3*(x+1)}$ $rarr$ $3^{x} = 5^{3x} * 5^3$ $rarr$ $3^{x}/5^{3x} = 5^{3x}$ $rarr$ $ln 3^{x} - ln 5^{3x} = ln 5^3$
$rarr$ $3x= 3*ln5/(ln 3 - ln 5)$ divido per 3 è il risultato mi viene $x= ln5/(ln 3 - ln 5)$
MA IL RISULTATO CHE METTE IL LIBRO è $x= 3*ln5/(ln 3 - ln 5)$. Sono ore che ci sto dietro e non capisco dove sto sbagliando!
4)$3^{2x - 1} + 3^{2x - 1} = -2*5^{2x - 1}$ RISULTATO $x=1/2$
Anche questa come la nr. 2, non riesco a capire per dove prenderla.
Ringrazio in anticipo per le risposte!
Buona serata
Risposte
Devi postare 1 solo esercizio per discussione !
Per il $1)$
una volta arrivato a
$t^2 +2t-1 =0$
sommiamo e sottraiamo $1$ cosi da ottenere
$t^2 + 2t + 1 = 2$
quindi
$(t+1)^2 =2$
da cui abbiamo le due soluzioni
$t+1 = \sqrt 2$
e
$t+1 = -\sqrt 2$
ora facciamo un osservazione sul secondo risultato prima di continuare ossia su $ t+1 = - sqrt 2$, ricordando che $2^x = t$, possiamo affermare che essendo $t = -1-sqrt 2$ un risultato negativo non è una soluzione poiché l'argomento del logaritmo deve essere positivo e ciò lo sappiamo dalla teoria !
Dopo aver detto ciò ci rimane
$t= \sqrt 2 -1$
quindi
$2^x = \sqrt 2 -1 $
ossia
$x= log_2 (\sqrt 2 -1 )$
------------------------------------------------------------------------
per il $2)$ (lascio a te la condizione di esistenza !)
$7^(-2x) - \frac{1}{(7^x -1)^2} + \frac{2}{(7^(x) -7^(2x))} >= 0$
sapendo che $ (7^(x) -7^(2x))= 7^x (1-7^x)$
facciamo il minimo comune multiplo e otteniamo
$\frac{(7^x -1)^2 - 7^(2x) + 2*7^x *(1-7^x)}{7^(2x) *(7^x -1)^2} >=$
ponendo$ 7^x = y$ si ha
$\frac{(y -1)^2 - y^2 + 2*y*(1-y)}{y^2 *(y -1)^2} >=0$
semplificando si ha
$\frac{-2y^2 +1}{y^2 *(y -1)^2} >=0$
analizziamo il numeratore solamente, dato che il denominatore è sempre maggiore di zero
$N : y^2 <= \frac{1}{2}$
ossia
$-\frac{1}{\sqrt2}<= y <= \frac{1}{\sqrt2}$
ritorniamo al discorso di prima, essendo $y= 7^x$ e dovendo essere l'argomento del logaritmo maggiore di zero si ha
$7^x <= \frac{1}{sqrt2}$
quindi
$x<= log_7 (\frac{1}{\sqrt 2})$
sfruttando la proprietà del cambiamento di base dei logaritmi
$x<= \frac{- log 2}{2 log 7}$
Alla luce di ciò, per il 3) e 4) adesso posta il tuo svolgimento così vediamo se ti è tutto chiaro !!
dove ti ricordo questa proprietà per lo svolgimento degli altri due:
$log(x^y) = y log (x)$
Per il $1)$
una volta arrivato a
$t^2 +2t-1 =0$
sommiamo e sottraiamo $1$ cosi da ottenere
$t^2 + 2t + 1 = 2$
quindi
$(t+1)^2 =2$
da cui abbiamo le due soluzioni
$t+1 = \sqrt 2$
e
$t+1 = -\sqrt 2$
ora facciamo un osservazione sul secondo risultato prima di continuare ossia su $ t+1 = - sqrt 2$, ricordando che $2^x = t$, possiamo affermare che essendo $t = -1-sqrt 2$ un risultato negativo non è una soluzione poiché l'argomento del logaritmo deve essere positivo e ciò lo sappiamo dalla teoria !
Dopo aver detto ciò ci rimane
$t= \sqrt 2 -1$
quindi
$2^x = \sqrt 2 -1 $
ossia
$x= log_2 (\sqrt 2 -1 )$
------------------------------------------------------------------------
per il $2)$ (lascio a te la condizione di esistenza !)
$7^(-2x) - \frac{1}{(7^x -1)^2} + \frac{2}{(7^(x) -7^(2x))} >= 0$
sapendo che $ (7^(x) -7^(2x))= 7^x (1-7^x)$
facciamo il minimo comune multiplo e otteniamo
$\frac{(7^x -1)^2 - 7^(2x) + 2*7^x *(1-7^x)}{7^(2x) *(7^x -1)^2} >=$
ponendo$ 7^x = y$ si ha
$\frac{(y -1)^2 - y^2 + 2*y*(1-y)}{y^2 *(y -1)^2} >=0$
semplificando si ha
$\frac{-2y^2 +1}{y^2 *(y -1)^2} >=0$
analizziamo il numeratore solamente, dato che il denominatore è sempre maggiore di zero
$N : y^2 <= \frac{1}{2}$
ossia
$-\frac{1}{\sqrt2}<= y <= \frac{1}{\sqrt2}$
ritorniamo al discorso di prima, essendo $y= 7^x$ e dovendo essere l'argomento del logaritmo maggiore di zero si ha
$7^x <= \frac{1}{sqrt2}$
quindi
$x<= log_7 (\frac{1}{\sqrt 2})$
sfruttando la proprietà del cambiamento di base dei logaritmi
$x<= \frac{- log 2}{2 log 7}$
Alla luce di ciò, per il 3) e 4) adesso posta il tuo svolgimento così vediamo se ti è tutto chiaro !!
dove ti ricordo questa proprietà per lo svolgimento degli altri due:
$log(x^y) = y log (x)$
Grazie mille, sei stato molto chiaro e preciso!
Io ho provato a risolvere entrambi gli esercizi:
Il $4)$ l'ho svolto così:
$3^{2x}*3^{-1}+3^{2x}*3^{-1}=2*5^{2x}*1/5$
quindi divido per il $5^{2x}$ $rarr$ $3^{2x}/5^{2x}*3^{-1}+3^{2x}/5^{2x}*3^{-1}=2/5$
Utilizzo il parametro $t$ $3^{2x}/5^{2x}=t$ $rarr$ $1/3t+1/3t=2/5$ $rarr$ $2/3t=2/5$
Porto il $2/3$ a destra quindi: $rarr$ $t=2/5/2/3$ $rarr$ $t=3/5$
Da cui $3^{2x}/5^{2x}=3/5$ $rarr$ $2x=1$ $rarr$ $x=1/2$
--------------------------------------------------------------------------------
Per l'altra invece ho ancora qualche problema
$ln3^x=ln5^{3*(x+1}$ $rarr$ $x*ln3=(3x+3)*ln5$ $rarr$ $x*ln3-3x*ln5=3ln5$
Raccolgo $x$ $rarr$ $x(ln3-3ln5)=3ln5$ $rarr$ $x=3ln5/(ln3-3ln5)$
Ho provato a risolverla in questa maniera direttamente con i logaritmi ma il risultato ancora non torna!
Credo di sbagliare qualcosa all'inizio probabilmente nel $3(x+1)$ mi perdo qualcosa ma non capisco cosa!
Io ho provato a risolvere entrambi gli esercizi:
Il $4)$ l'ho svolto così:
$3^{2x}*3^{-1}+3^{2x}*3^{-1}=2*5^{2x}*1/5$
quindi divido per il $5^{2x}$ $rarr$ $3^{2x}/5^{2x}*3^{-1}+3^{2x}/5^{2x}*3^{-1}=2/5$
Utilizzo il parametro $t$ $3^{2x}/5^{2x}=t$ $rarr$ $1/3t+1/3t=2/5$ $rarr$ $2/3t=2/5$
Porto il $2/3$ a destra quindi: $rarr$ $t=2/5/2/3$ $rarr$ $t=3/5$
Da cui $3^{2x}/5^{2x}=3/5$ $rarr$ $2x=1$ $rarr$ $x=1/2$
--------------------------------------------------------------------------------
Per l'altra invece ho ancora qualche problema
$ln3^x=ln5^{3*(x+1}$ $rarr$ $x*ln3=(3x+3)*ln5$ $rarr$ $x*ln3-3x*ln5=3ln5$
Raccolgo $x$ $rarr$ $x(ln3-3ln5)=3ln5$ $rarr$ $x=3ln5/(ln3-3ln5)$
Ho provato a risolverla in questa maniera direttamente con i logaritmi ma il risultato ancora non torna!
Credo di sbagliare qualcosa all'inizio probabilmente nel $3(x+1)$ mi perdo qualcosa ma non capisco cosa!
Il 4 è corretto
Il 3 no, esattamente l'errore è nel primo passaggio:
$3^x = 5^(3*(x+1))$
usando la proprietà che ti ho scritto sopra !!!
$log(3) x = 3 log(5)(x+1)$
ora continua tu
Il 3 no, esattamente l'errore è nel primo passaggio:
$3^x = 5^(3*(x+1))$
usando la proprietà che ti ho scritto sopra !!!
$log(3) x = 3 log(5)(x+1)$
ora continua tu
Rileggendo ho notato che solo nel primo passaggio hai mancato l'argomento del logaritmo !
Poi è ricomparso dopo, a parte quell'errore di scrittura; il procedimento è corretto !
Poi è ricomparso dopo, a parte quell'errore di scrittura; il procedimento è corretto !
Ah ecco l'errore, bon adesso è semplice!
$ln3^x=3ln5^x+ln5^x$ $rarr$ $x*ln3-x*ln5=3ln5$ $rarr$ $x(ln3-ln5)=3ln5$ $rarr$ $x=3ln5/(ln3-ln5)$
Finalmente sono arrivato (col tuo aiuto
) a questo risultato!
Grazie mille per l'aiuto
$ln3^x=3ln5^x+ln5^x$ $rarr$ $x*ln3-x*ln5=3ln5$ $rarr$ $x(ln3-ln5)=3ln5$ $rarr$ $x=3ln5/(ln3-ln5)$
Finalmente sono arrivato (col tuo aiuto
) a questo risultato! Grazie mille per l'aiuto
"Faffa":
Rileggendo ho notato che solo nel primo passaggio hai mancato l'argomento del logaritmo !
Poi è ricomparso dopo, a parte quell'errore di scrittura; il procedimento è corretto !
Errore di scrittura, ho corretto!
Non so se sia un altro errore di scrittura ma devi fare così:
$3^x = 5^(3*(x+1))$
$x*log(3) = 3*(x+1)*log(5)$
$x*log(3) = 3x*log(5) + 3log(5)$
$(log(3)-3 log(5))*x= 3log(5)$
$x=\frac{3 log(5)}{log(3) -3 log(5)}$
$3^x = 5^(3*(x+1))$
$x*log(3) = 3*(x+1)*log(5)$
$x*log(3) = 3x*log(5) + 3log(5)$
$(log(3)-3 log(5))*x= 3log(5)$
$x=\frac{3 log(5)}{log(3) -3 log(5)}$
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