Equazioni esponenziali (64731)

[valenta93]

ciao a tutti.
volevo una mano a risolvere queste equazioni esponenziali che non mi vengono...

http://i56.tinypic.com/2ef6y48.jpg

non mi viene la 31 a e 31C
la 31 a l'ho portata avanti ma non mi viene la c invece non so neanche come iniziare

e poi non mi viene la 67

http://i56.tinypic.com/a3jw2d.jpg

grazie in anticipo!

Aggiunto 3 ore 18 minuti più tardi:

ho fatto i tuoi stessi è identici passaggi..
poi pero' ho fatto diventare il primo membro 2 alla 4/3 -.- ecco dov'era l'errore :) grazie :)

Aggiunto 8 minuti più tardi:

ok ci sono...
spiegate da te poi sembrano facili..grazie :)
qui essendoci "n" ero andata in palla

Aggiunto 35 minuti più tardi:

lo svolgimento dell'esercizio l'ho capito e ti ringrazio.
già che ci sono volevo chiederti una cosa...
nelle equazioni esponenziali io avevo capito che non poteva venire un numero negativo ma in alcuni esercizi il libro accetta soluzioni come -1/2 o -1...quindi mi sa che sono io a non avere capito...

Aggiunto 23 ore 13 minuti più tardi:

Scusa se rispondo solo ora ma ieri poi sono crollata e oggi ho studiato altre materie :)
comunque grazie. quando l'incognita compare all'esponente non mi devo preoccupare :)

[BIT5]

Ricorda queste proprieta'

[math] \sqrt[m]{a \sqrt[n]{b}} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a^n \cdot b} [/math]

E quindi il primo termine:

[math] \sqrt{2 \sqrt2} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 2}} [/math]

[math] \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[(m \cdot n)]{a} [/math]

E quindi quanto trovato sara'

[math] \sqrt{\sqrt{2^3}} = \sqrt[4]{2^3} [/math]

Infine

[math] \sqrt[m]{a^n} = a^{\( \frac{n}{m} \)}[/math]

E quindi

[math] 2^{ \( \frac34 \) } [/math]

Il secondo termine, ricordando che

[math] (a^m)^n=a^{(m \cdot n)} [/math]

dara'

[math] 4^{(1-x)} = (2^2)^{(1-x)} = 2^{2(1-x)} = 2^{(2-2x)} [/math]

Pertanto l'equazione complessiva diverra'

[math] 2^{ \(\frac34 \)} = 2^{(2-2x)} [/math]

E siccome due potenze di basi uguali sono uguali se hanno anche lo stesso esponente dobbiamo risolvere

[math] \frac34 = 2-2x [/math]

Puoi finirla tu ;)

Se e' chiara passiamo alla seconda

Aggiunto 31 minuti più tardi:

la 31C sara'

Primo membro:

Ricordando che

[math] \( \frac{1}{a} \)^m = a^{(-m)} [/math]

sara'

[math] \( \frac{1}{n} \)^{(2x+1)} = n^{-(2x+1)} = n^{(-2x-1)} [/math]

Secondo membro:

[math] 1 = n^0 [/math]

( in quando qualunque valore elevato alla zero da' 1... ovviamente con n diverso da zero, in quanto 0 alla 0 non ha significato... ma comunque n e' al denominatore del primo membro quindi n diverso da 0 (di nuovo))

l'equazione sara'

-2x-1=0 quindi x=-1/2

Ci sei?

Aggiunto 19 minuti più tardi:

la 67 e' un po' piu' lunghina....

Prendo addendo per addendo....
Ti scrivo le proprieta' da utilizzare....
La proprieta' e' scritta come sui libri, nel tuo caso vedrai che dovrai leggerla al contrario... ma in quanto uguaglianze, vanno benissimo lette in entrambi i versi...

[math] \frac{a^m}{a^n} = a^{(m-n)} [/math]

E dunque

[math] 3^{(2-x)} = \frac{3^2}{3^x} [/math]

[math] 3^{(1-x)} = \frac{3}{3^x} [/math]

Ora, siccome vedi che stiamo scrivendo tutto in funzione di 3alla x anche le successive le portiamo in funzione di 3 alla x..

Quindi

PROPRIETA':

[math] (a^m)^n=a^{(m \cdot n)} [/math]

[math]9^{(x+1)} = (3^2)^{(x+1)} = 3^{2(x+1)} = 3^{(2x+2)} [/math]

E quindi proprieta'

[math] a^m \cdot a^n = a^{(m+n)} [/math]

Allora

[math] 3^{(2x+2)}=3^{2x} \cdot 3^2 = 3^2 \cdot 3^{2x} [/math]

(l'ultimo passaggio e' solo un cambio di fattori per mettere "ordine" )

analogamente

[math] 3^{(2x+1)} = 3 \cdot 3^{2x} [/math]

infine

[math] 27^{(1+3x)} = 3^{3(1+3x)} = 3^3 \cdot 3^{9x} [/math]

L'espressione nuova sara'..

[math] \frac{ \frac{3^2}{3^x} - \frac{3}{3^x}}{9 \cdot 3^{2x} - 3 \cdot 3^{2x}} = 27 \cdot 3^{9x} [/math]

Sfruttiamo ora il suggerimento..

Posto

[math] y=3^x [/math]

[math] \frac{\frac{9}{y}- \frac{3}{y}}{9y^2-3y^2} = 27 y^9 [/math]

E dunque

[math] \frac{ \frac{9-3}{y}}{6y^2} = 27 y^9 [/math]

Ovvero

[math] \frac{6}{y(6y^2)} = 27y^9 [/math]

Ovvero

[math] \frac{1}{y^3} = 27y^9 [/math]

Minimo comune multiplo

[math] \frac{1}{y^3} = \frac{27y^{12}}{y^3} [/math]

E quindi

[math] \frac{27y^{12}-1}{y^3}=0 [/math]

Posto y diverso da zero (e quindi

[math] 3^x \ne 0 [/math]

che non da' limitazioni, visto che 3 elevato a qualunque esponente non dara' mai zero... )

[math] 27y^{12} = 1 \to y= \sqrt[12]{ \frac{1}{27}} = 27^{\(- \frac{1}{12} \) }[/math]

Ricordiamo la sostituzione fatta..

[math] 3^x = 27^{ \(- \frac{1}{12} \)} \to 3^x=3^{3 \cdot \(- \frac{1}{12} \) } \to x= - \frac{3}{12} = - \frac14 [/math]

dimmi se e' chiaro :) e se il risultato e' corretto, comunque il metodo e' questo :)

Aggiunto 8 minuti più tardi:

(in verita', per precisione, uno degli utlimi passaggi, doveva essere:

[math] y= \pm \sqrt[12]{\frac{1}{27}} [/math]

Ma quando poi tornavamo alla sostituzione iniziale...

[math] 3^x=-3^{3 \cdot \(- \frac{1}{12} \)} [/math]

e ci fermavamo in quanto, ricordati che nello studio degli esponenziali, la base deve essere sempre compresa tra 0 e 1 o maggiore di 1...

E poi... la radice dodicesima di -1/3 (ricordati che -3 elevato a -1/12 equivale a radice dodicesima di -1/3 ) non esiste... Insomma, essendo la base positiva, abbiamo preso solo il valore positivo della radice...

Aggiunto 17 minuti più tardi:

Non devi fare confusione tra le basi e gli esponenti...

Le soluzioni degli esercizi sono i valori di x che risolvono l'equazione...

Tu devi dividere 3 casi..

[math] x^n [/math]

L'incognita e' alla base, l'esponente e' definito.. La base puo' essere qualunque cosa (pensa, semplicemente alle equazioni di secondo grado.. non importa se x viene positiva o negativa)

Secondo caso.

[math] a^x [/math]

l'incognita compare solo all'esponente.. pertanto non porta alcun problema, in quanto la base e' fissa e nota.

Quindi la soluzione potra' essere qualunque valore, positivo, negativo o nullo..

Terzo caso:

[math] x^x [/math]

banalizzo ma potresti avere

[math] x^{f(x)} [/math]

oppure

[math] f(x)^{g(x)} [/math]

ovvero, in sintesi, incognita alla base e all'esponente.

qui prima di risolvere dovrai porre la base (x, o f(x) o qualunque cosa essa sia) maggiore di zero e diversa da 1.

Il perche' e' semplice...

Se hai 1, l'esponente e' come se non ci fosse, in quanto 1, elevato a qualunque esponente, da' sempre 1...

Inoltre se hai una base minore di zero, e' un disastro, perche' un numero negativo, elevato a esponente dispari, restituisce un valore negativo, mentre a esponente pari, positivo... e sarebbe un bel problema, in quanto i valori pari che puo' assumere l'esponente, sono infiniti, cosi' come quelli dispari.

Pertanto l'unica limitazione che dovrai porre sara' che la base (se e' incognita) sia > di 0 e diversa da 1.

Inoltre mentre le basi da 0 a 1 mano a mano che l'esponente aumenta, danno un valore sempre piu' piccolo (pensa, ad esempio, a 1/2 che alla seconda diventa 1/4, alla terza 1/8 e via via sempre piu' piccola) le basi > di 1 aumentano se l'esponente aumenta
(potenze di 2.... 2,4,8,16,32)

In sintesi, dunque, l'esponente, se e' nota la base, potra' avere valori negativi, positivi o nulli.