Equazioni esponenziali (38018)

[bombardott]

2^(x+1)+2^(3-x)=17

[mateschio]

In verità in questo momento non ricordo come procedere con questo tipo di equazioni però noto che x=3 è una soluzione !

[BIT5]

Ricordando le proprieta' delle potenze:

[math] a^m \cdot a^n=a^{m+n} [/math]

e

[math] \frac{a^m}{a^n}= a^{m-n} [/math]

Possiamo riscrivere l'equazione come

[math] 2 \cdot 2^x + \frac{2^3}{2^x}=17 [/math]

Minimo comune multiplo ed eliminazione del denominatore (che non potra' mai essere zero dal momento che a qualunque numero si elevi una quantita' il risultato non sara' mai zero)

[math] 2 \cdot 2^x \cdot 2^x + 2^3 = 17 \cdot 2^x [/math]

e siccome

[math] 2^x \cdot 2^x = 2^{2x} [/math]

[math] 2 \cdot 2^{2x} - 17 \cdot 2^x + 8 = 0 [/math]

Pongo

[math] t=2^x [/math]

E pertanto

[math] 2t^2-17t+8=0 [/math]

Da cui

[math] t_1=8 [/math]

e

[math] t_2= \frac12 [/math]

E pertanto

[math] 2^x=8 \to 2^x=2^3 \to x=3 [/math]

[math] 2^x= \frac12 \to 2^x=2^{-1} \to x=-1 [/math]