Equazioni equivalenti

[marcus1121]

Considerare le seguenti equazioni:

$1)$$(x + a)/(a + 2) - (3(x - 1))/(a + 2) = 1$

$2)$$x + a - 3(x - 1) = a + 2$

dire se, e quando sono equivalenti. E perchè?

Secondo la mia verifica entrambe le equazioni sono verificate per $x=1/2$ e per $a=1/2$

Se prendo in considerazioni entrambe le variabili la seconda è verificata sempre per $x=1/2$ e per $a=1/2$

la prima invece è verificata per $x=1/2 $ o per $a$ diverso da $-2$.

Qundi come si dovrebbe rispondere in questo caso?

Grazie

[scrittore1]

L'esercizio dato è a tutti gli effetti un sistema di 2 equazioni a 2 incognite ($x$ e $a$) per cui tu scopri che le 2 equazioni sono equivalenti quando entrambe le equazioni sono verificate.

x=1/2 è l'unico valore di x per cui entrambe sono verificate.

Per $a$ invece la prima ha un singolo valore $1/2$, mentre la seconda ha tutti i valori reali tranne -2.
Dunque qual è l'intersezione tra gli insiemi:
A= $[1/2]$ e B= $(-oo,-2) U (-2,+oo)$ ?

L'intersezione sarà il valore di $a$ per cui entrambe le equazioni sono soddisfatte

[marcus1121]

Ma se la prima è verificata,considerando le due variabili, come abbiamo detto per $a = -2$ e la seconda per $a=1/2$ ;le due equazioni, quindi, si considerano equivalenti in base ad una sola incognita e non equivalenti in base ad entrambe le incognite?

GRAZIE

[@melia]

Io le cosidererei come due equazioni nella sola variabile $x$, e sono equivalenti se $a!= -2$

[giammaria2]

Sarò deficiente, ma proprio non capisco da dove spunta $a=1/2$. Il mio ragionamento è invece questo: la seconda equazione è uguale alla prima moltiplicata per $a+2$: quindi le due equazioni sono equivalenti se questa operazione è lecita, cioè se $a \ne-2$. Risolvendo si nota poi che $a$ scompare e non ci sono altre difficoltà, ma se anche ci fossero ci sarebbero per entrambe le equazioni e non modificherebbero la loro equivalenza.

[marcus1121]

Hai ragione...ho sbagliato a digitare $a=1/2$ non ha senso!
Le due equazioni risultano equivalenti se $a!=-2$.


Se considero invece queste due equazioni:

$1)$$x/a+(x-1)/2=1/(2a)

$1)$$(2+a)x=1+a$

per $a=0$ le espressioni della prima equazione perdono di significato; ma per poter dire che la prima equazione
è equivalente alla seconda,questa non deve essere verificata per $a=0$ ma così non è:

$(2 + 0)x = 1 + 0\rightarrowx = 1/2 $

Le due equazioni dunque non sono equivalenti.....ma se ciò è lecito, come hai detto giustamente, saranno equvalenti se $a !=0$

Chiedo un vostro parere

[leena1]

Anche se per $a=0$ la seconda equazione non fosse verificata, comunque non potresti dire che è equivalente alla prima.
Per essere equivalenti, si dovrebbero comportare allo stesso identico modo, cioè anche la seconda dovrebbe perdere di significato.

E' giusto quindi dire che le due equazioni sono equvalenti se $a !=0$

[marcus1121]

"leena":Anche se per $a=0$ la seconda equazione non fosse verificata, comunque non potresti dire che è equivalente alla prima.

Da quello che ho letto ... se per il valore di $x$, per cui una equazione perde significato(come nel nostro esempio),

un'altra equazione è verificata le due equazioni non sono equivalenti se invece il valore di $x$ non verifica l'equazione considerata sono equivalenti.

Per essere equivalenti, si dovrebbero comportare allo stesso identico modo, cioè anche la seconda dovrebbe perdere di significato.

Qui non capisco cosa vuoi dire.....

E' giusto quindi dire che le due equazioni sono equvalenti se $a !=0$

Qui sono d'accordo!