Equazioni e disequazioni logaritmiche/esponenziali
Buongiorno a tutti 
Vi allego delle equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche perché non ho proprio capito il metodo di risoluzione :c
Mi potete spiegare prendendone una ad esempio come posso in generale risolverle ?
Buona Giornata e Grazie in anticipo =D
http://puu.sh/hAPiR/8294d32a45.jpg
http://puu.sh/hAPiv/df44bc0e86.jpg
http://puu.sh/hAPhZ/978df25e1a.jpg
http://puu.sh/hAPfD/615602a980.jpg
http://puu.sh/hAPhu/be7db1b3e7.jpg
Vi allego delle equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche perché non ho proprio capito il metodo di risoluzione :c
Mi potete spiegare prendendone una ad esempio come posso in generale risolverle ?
Buona Giornata e Grazie in anticipo =D
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Risposte
Ciao Francegala e benvenuta
Ti ricordo una regola fondamentale del forum, non allegare foto di esercizi... un domani potrebbero essere utili ad altri ed essere state tolte dai server... quindi magari scegli tu qualche esercizio e ricopialo in modo che possa essere leggibile da tutti. Poi magari prova a dare una tua soluzione in modo che si possa capire dove sbagli!
Detto questo provo ad aiutarti con 5 esercizi differenti facendo tutti i passaggi per chiarirti le idee su vari metodi. Ma tieni presente che è difficile dirti TUTTI i metodi... dipende dalla equazione dovresti studiarne un po', fare qualche esercizio e ti impratichisci. Per esempio nelle equazioni/disequazioni logaritmiche diventa molto importante il concetto di C.E. (condizione di esistenza) da mettere in evidenza subito al primo passaggio! Prova anzitutto a guardare le mie risoluzioni. Poi se non hai capito o se hai altre domande scrivi ancora quanto vuoi
NUMERO 319
$7^(1+x)>=1+7^(x-1)$
$7^(1+x)-7^(x-1)>=1$
$7 7^x-1/7 7^x>=1$
$7^x(7-1/7)>=1$
$7^x (48/7) >=1$
$7^x>=7/48$
$x>=log_7 (7/48)$
$x>=log_7 (7)-log_7 (48)$
$x>=1-log_7 (48)$
$x>=1-(ln48)/(ln7)$
$x>=(ln7-ln48)/(ln7)$
NUMERO 266
$10/2^x=3^(1-x)+2/(3^x)$
$10/2^x=(3/3^x)+(2/3^x)$
$10/2^x=5/3^x$
$3^x/2^x=5/10$
$(3/2)^x=1/2$
$x=log_(3/2) (1/2)$
$x=-log_(3/2) 2$
$x= - ln2/ln(3/2)$
$x=-ln2/(ln3-ln2)$
NUMERO 326
$2 (9^x)>=3^(x+2)-10$
$2 (3^(2x))>= (3^2) (3^x) -10$
$2 (3^(2x))-9 (3^x) +10>=0$
poniamo adesso $3^x=t$ e abbiamo
$2t^2-9t+10>=0$
che risolta fornisce le soluzioni
$t<=2$
vel
$t>=5/2$
risostituiamo e abbiamo
$3^x<=2$
vel
$3^x>=5/2$
cioè
$x<=log_3 2$
vel
$x>=log_3 5 -log_3 2$
NUMERO 268
$3^(x+1)+4^(1-x) = sqrt(9^(x-1))+2^(3-2x)$
$3(3^x)+4/4^x=3^(x-1)+8/4^x$
$8/4^x-4/4^x=3(3^x)-1/3(3^x)$
$4/4^x=8/3 (3^x)$
$12^x=3/2$
$x=log_(12) (3/2) = log_(12)3-log_(12)2$
$x=ln3/ln12 - ln2/ln12=(ln3-ln2)/ln12$
$x=(ln3-ln2)/ln(3 2^2)$
$x=(ln3-ln2)/(ln3+2ln2)$
NUMERO 530
$log_3 x + log_3 (x+1) -1>log_3 (x^2-x)$
Condizioni di Esistenza (C.E.):
primo logaritmo $x>0$
secondo logaritmo $x>(-1)$
terzo logaritmo $x^2-x>0$ che risolta fornisce $x<0$ e $x>1$
se mettiamo tutte e tre assieme otteniamo $x>1$ che ci teniamo da parte e useremo alla fine... se il risultato finale sarà nell'intervallo delle x maggiori di 1 tutto bene se no ragioneremo di conseguenza.
Torniamo alla disequazione
$log_3 x + log_3 (x+1) -1>log_3 (x^2-x)$
$log_3 x + log_3 (x+1) - log_3 3 - log_3 (x^2-x)>0$
$log_3 ((x(x+1))/(3x(x-1)))>0$
$(x+1)/(3(x-1))>1$
$(x+1)/(3(x-1))-1>0$
$2/3 (2-x)/(x-1)>0$
Risolta fornisce il risultato
$1
guardando le C.E. lo riteniamo accettabile
tutto chiaro?
ciao!!
Ti ricordo una regola fondamentale del forum, non allegare foto di esercizi... un domani potrebbero essere utili ad altri ed essere state tolte dai server... quindi magari scegli tu qualche esercizio e ricopialo in modo che possa essere leggibile da tutti. Poi magari prova a dare una tua soluzione in modo che si possa capire dove sbagli!
Detto questo provo ad aiutarti con 5 esercizi differenti facendo tutti i passaggi per chiarirti le idee su vari metodi. Ma tieni presente che è difficile dirti TUTTI i metodi... dipende dalla equazione dovresti studiarne un po', fare qualche esercizio e ti impratichisci. Per esempio nelle equazioni/disequazioni logaritmiche diventa molto importante il concetto di C.E. (condizione di esistenza) da mettere in evidenza subito al primo passaggio! Prova anzitutto a guardare le mie risoluzioni. Poi se non hai capito o se hai altre domande scrivi ancora quanto vuoi
NUMERO 319
$7^(1+x)>=1+7^(x-1)$
$7^(1+x)-7^(x-1)>=1$
$7 7^x-1/7 7^x>=1$
$7^x(7-1/7)>=1$
$7^x (48/7) >=1$
$7^x>=7/48$
$x>=log_7 (7/48)$
$x>=log_7 (7)-log_7 (48)$
$x>=1-log_7 (48)$
$x>=1-(ln48)/(ln7)$
$x>=(ln7-ln48)/(ln7)$
NUMERO 266
$10/2^x=3^(1-x)+2/(3^x)$
$10/2^x=(3/3^x)+(2/3^x)$
$10/2^x=5/3^x$
$3^x/2^x=5/10$
$(3/2)^x=1/2$
$x=log_(3/2) (1/2)$
$x=-log_(3/2) 2$
$x= - ln2/ln(3/2)$
$x=-ln2/(ln3-ln2)$
NUMERO 326
$2 (9^x)>=3^(x+2)-10$
$2 (3^(2x))>= (3^2) (3^x) -10$
$2 (3^(2x))-9 (3^x) +10>=0$
poniamo adesso $3^x=t$ e abbiamo
$2t^2-9t+10>=0$
che risolta fornisce le soluzioni
$t<=2$
vel
$t>=5/2$
risostituiamo e abbiamo
$3^x<=2$
vel
$3^x>=5/2$
cioè
$x<=log_3 2$
vel
$x>=log_3 5 -log_3 2$
NUMERO 268
$3^(x+1)+4^(1-x) = sqrt(9^(x-1))+2^(3-2x)$
$3(3^x)+4/4^x=3^(x-1)+8/4^x$
$8/4^x-4/4^x=3(3^x)-1/3(3^x)$
$4/4^x=8/3 (3^x)$
$12^x=3/2$
$x=log_(12) (3/2) = log_(12)3-log_(12)2$
$x=ln3/ln12 - ln2/ln12=(ln3-ln2)/ln12$
$x=(ln3-ln2)/ln(3 2^2)$
$x=(ln3-ln2)/(ln3+2ln2)$
NUMERO 530
$log_3 x + log_3 (x+1) -1>log_3 (x^2-x)$
Condizioni di Esistenza (C.E.):
primo logaritmo $x>0$
secondo logaritmo $x>(-1)$
terzo logaritmo $x^2-x>0$ che risolta fornisce $x<0$ e $x>1$
se mettiamo tutte e tre assieme otteniamo $x>1$ che ci teniamo da parte e useremo alla fine... se il risultato finale sarà nell'intervallo delle x maggiori di 1 tutto bene se no ragioneremo di conseguenza.
Torniamo alla disequazione
$log_3 x + log_3 (x+1) -1>log_3 (x^2-x)$
$log_3 x + log_3 (x+1) - log_3 3 - log_3 (x^2-x)>0$
$log_3 ((x(x+1))/(3x(x-1)))>0$
$(x+1)/(3(x-1))>1$
$(x+1)/(3(x-1))-1>0$
$2/3 (2-x)/(x-1)>0$
Risolta fornisce il risultato
$1
guardando le C.E. lo riteniamo accettabile
tutto chiaro?
ciao!!
Innanzitutto ti ringrazio mazzarri
Della prima disequazione che mi hai postato, ho provato a fare la seguente ma non riesco :C
$3^(x+1)-2^(x-1)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(2^(x)/2)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(3^(x))>(2^(x)/2)$
$(3^(x)*(3-1))>(2^(x)/2)$
$(4*3^(x))>2^(x)$
$12^(x)>2^(x)$
xlog(12)-xlog(2)>0
...poi (?) qui se vado a vanti non riesco :c
Grazie in anticipo !!
Della prima disequazione che mi hai postato, ho provato a fare la seguente ma non riesco :C
$3^(x+1)-2^(x-1)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(2^(x)/2)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(3^(x))>(2^(x)/2)$
$(3^(x)*(3-1))>(2^(x)/2)$
$(4*3^(x))>2^(x)$
$12^(x)>2^(x)$
xlog(12)-xlog(2)>0
...poi (?) qui se vado a vanti non riesco :c
Grazie in anticipo !!
vi propongo anche questa.. seconda parte del 266
(3^(x-1))+(3^(x+1))=2^(x)
faccio l'mcm con 3 al denominatore...
3^(x)+(9*3^(x))=3*2^(x)
raccolgo
3^(x)*10=6^(x)
ora... (?)
imposto il logaritmo...
xlog(30)=xlog(4)
xlog(30/6)=0........
(3^(x-1))+(3^(x+1))=2^(x)
faccio l'mcm con 3 al denominatore...
3^(x)+(9*3^(x))=3*2^(x)
raccolgo
3^(x)*10=6^(x)
ora... (?)
imposto il logaritmo...
xlog(30)=xlog(4)
xlog(30/6)=0........
$3^(x-1)+3^(x+1)=2^x => 3^x/3 +3*3^x =2^x$
Moltiplicando tutto per $3$ si ottiene $3^x +9*3^x = 3* 2^x$, da cui $10*3^x = 3*2^x$
Applicando il logaritmo in base $10$ (che si scrive semplicemente $log$) si ha
$log(10*3^x)= log(3*2^x)=> log(10)+log(3^x)= log(3)+log(2^x)=> $
$=> 1+x log3 =log3 +x log2=> x(log3-log2)= log3-1 => x= ( log3-1 )/(log3-log2)$
Moltiplicando tutto per $3$ si ottiene $3^x +9*3^x = 3* 2^x$, da cui $10*3^x = 3*2^x$
Applicando il logaritmo in base $10$ (che si scrive semplicemente $log$) si ha
$log(10*3^x)= log(3*2^x)=> log(10)+log(3^x)= log(3)+log(2^x)=> $
$=> 1+x log3 =log3 +x log2=> x(log3-log2)= log3-1 => x= ( log3-1 )/(log3-log2)$
Grazie mille anche a te Gi8
... ultimo desiderio...
me ne potete mostrare una anche di quelle dalla 534 alla 542? (http://puu.sh/hAPhZ/978df25e1a.jpg)
Grazie mille ancora
... ultimo desiderio...
me ne potete mostrare una anche di quelle dalla 534 alla 542? (http://puu.sh/hAPhZ/978df25e1a.jpg)
Grazie mille ancora
"Francegala":
Grazie mille anche a te Gi8
... ultimo desiderio...
me ne potete mostrare una anche di quelle dalla 534 alla 542? (http://puu.sh/hAPhZ/978df25e1a.jpg)
Grazie mille ancora
Ma certo
NUMERO 535
$log^2 x-4 logx>0$
qui i logaritmi sono in base 10, si capisce perchè c'è scritto Log...
C.E. (condizione di esistenza): $x>0$ banale...
pongo per semplicità $logx=t$
$t^2-4t>0$
$t(t-4)>0$
soluzioni sono
$t<0$
vel
$t>4$
risostituiamo
$logx<0$
vel
$logx>4$
cioè
$x<1$
vel
$x>10^4$
che dovrebbero essere le soluzioni ma attenzione alla condizione di esistenza, x deve essere positiva!!! Quindi in definitiva le soluzioni sono
$0
$x>10^4$
NUMERO 537
$log_(1/2) (2x+1) <=-2$
C.E.: $2x+1>0$ cioè $x>(-1/2)$
ma torniamo alla disequazione, attenta!!! la base del logaritmo è minore di 1... bisogna invertire il senso della disequazione quando si elevano a (1/2) entrambi i membri, lo sapevi??
$(2x+1)>=(1/2)^(-2)$
$(2x+1)>=4$
$x>=3/2$
questo è in accordo con le c.e. quindi accettiamo come soluzione valida
tutto chiaro??
ciao!
"Francegala":
Innanzitutto ti ringrazio mazzarri
Della prima disequazione che mi hai postato, ho provato a fare la seguente ma non riesco :C
$3^(x+1)-2^(x-1)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(2^(x)/2)>3^(x)$
$(3^(x)*3)-(3^(x))>(2^(x)/2)$
$(3^(x)*(3-1))>(2^(x)/2)$
$(4*3^(x))>2^(x)$
$12^(x)>2^(x)$
xlog(12)-xlog(2)>0
...poi (?) qui se vado a vanti non riesco :c
Grazie in anticipo !!
Attenta, errore gravissimo qui:
$(4*3^(x))>2^(x)$
$12^(x)>2^(x)$ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Più che "errore" direi "orrore" fai attenzione...
Sarebbe
$(4*3^(x))>2^(x)$
$(3/2)^x>1/4$
$x>log_(3/2) (1/4)$
$x>(-log_(3/2)4)$
$x>(-ln4/ln(3/2))$
$x>ln4/(ln2-ln3)$
Se hai anche bisogno di un passaggio per andare a scuola, mazzarri non ha alcun problema
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