Equazioni e disequazioni goniometriche

[Lucrezio1]

Salve a tutti...
ho dei problemi con alcune disequazioni del tipo:
$4cos^2 x + 4cosx -3 >=0$
moltiplicando il -3 per 1 e svolgendo qualche calcolo arrivo a $cos^2 x + 3sen^2 x+4cosx>=0$... ma adesso? ho provato a dividere per $cos^2 x$, ma mi ritrovo un'equazione nella tangente e nel coseno a denominatore... come faccio? Potreste aiutarmi?

[_prime_number]

Quando compare solo una funzione goniometrica sei nella situazione migliore! Poni $cosx =t$ .

Paola

[Lucrezio1]

Oddio è vero che stupido! grazie:D
E qui?: $sin^2 x + sinx-cos^2 x <0$? Come faccio?!

[@melia]

Trasforma il $cos^2x$ in $1-sin^2x$

[Lucrezio1]

Grazie, adesso mi esce.
E questa?
$6tan^2x-4sin^2 x -1=0 $, trasformo la tangente in seno/coseno e poi pongo $cosx=t$, e mi esce $4t^4+11t^2-6=0$, che risolvo ponendo $t^2=y -> 4y^2+11y-6=0$, che mi dà due soluzioni negative, e quindi la biquadratica in t è impossibile...
come esco da questo labirinto?

[@melia]

"Lucrezio": 4y^2+11y-6=0$, che mi dà due soluzioni negative

Non è vero, dà una soluzione positiva e una negativa

Inoltre non mi viene il coefficiente 11, ma 3

[Lucrezio1]

Ma è normale che il delta venga 217? o_o

[chiaraotta1]

Io risolverei così ....
$6tan^2(x)-4sin^2(x) -1=0 ->6(sin^2(x))/(cos^2(x))-4sin^2(x) -1=0 ->$
$6sin^2(x)-4sin^2(x)cos^2(x) -cos^2(x)=0$ (con $x!=pi/2+kpi$).
Da
$sin(2x)=2sin(x)cos(x)->4sin^2(x)cos^2(x)=sin^2(2x)=1-cos^2(2x)$,
$cos(2x)=2cos^2(x)-1->cos^2(x)=(1+cos(2x))/2$,
$cos(2x)=1-2sin^2(x)->sin^2(x)=(1-cos(2x))/2$.
Quindi l'equazione
$6sin^2(x)-4sin^2(x)cos^2(x) -cos^2(x)=0$
può essere riscritta come
$6(1-cos(2x))/2-(1-cos^2(2x))-(1+cos(2x))/2=0$
e quindi
$6-6cos(2x)-2+2cos^2(2x)-1-cos(2x)=0$
$2cos^2(2x)-7cos(2x)+3=0$
$[2cos(2x)-1][cos(2x)-3]=0$.
L'equazione
$cos(2x)-3=0$
non ha soluzioni, mentre
$2cos(2x)-1=0->cos(2x)=1/2->2x=+-pi/3+2kpi->x=+-pi/6+kpi$.

[Lucrezio1]

Vabbè ma è un'equazione praticamente impossibile! O.O
Uno studente del quarto anno dello scientifico potrebbe fare una cosa del genere?

[andrew.cgs1]

[OT]
Teoricamente uno del terzo... Ma non spaventarti, nella maggior parte dei casi si tratta di applicare più "trucchetti" in successione per ridurre l'arcano ad una serie di semplici esercizietti. Il trucco, collega, è non dimenticarti ciò che hai fatto in precedenza, e ogni tanto ripassare un paio di vecchi esercizi per non arrugginirsi del tutto (a volte ritornano...).
[/OT]

[ric1321]

Non spaventarti si fa in un modo più semplice. Allora, piccola parentesi, esistono le equazioni goniometriche omogenee, dove tutti i termini hanno lo stesso grado. $ 6sin^2x-4sin^2xcos^2-cos^2x=0 $ è riconducibile ad omogenea di quarto grado, perché posso moltiplicare i termini di secondo grado per $ cos^2x+sin^2x $ che è uguale ad uno portando così tutti i termini a grado 4. Poi divido tutto per $ cos^4x $ ponendolo diverso da 0 ovviamente (ma tanto era già presente come CE per il primo denominatore) e risolvo l'equazione in tangente.

[Lucrezio1]

Ok, grazie a tutti!!
Adesso ho un altro problema, con un sistema di disequazioni:
${(2cosx+sqrt(2)>0), (tan^2x-3<=0):}$
Ho problemi nel risolvere la seconda, ponendo t = tangente di x: $t^2-3<=0 -> -sqrt(3)<=t<=sqrt(3) -> {(tgx<=sqrt(3)),(tgx>=-sqrt(3)):} -> {(-pi/3+kpi<=x<=pi/3+kpi),(0<=0x<3/4pi+2kpi vvv 5/4pi + 2kpi < x <= 2kpi):}$.
Ok, è giusto fin qui?

[chiaraotta1]

"Lucrezio":Ok, grazie a tutti!!
Adesso ho un altro problema, con un sistema di disequazioni:
${(2cosx+sqrt(2)>0), (tan^2x-3<=0):}$
Ho problemi nel risolvere la seconda, ponendo t = tangente di x: $t^2-3<=0 -> -sqrt(3)<=t<=sqrt(3) -> {(tgx<=sqrt(3)),(tgx>=-sqrt(3)):} -> {(-pi/3+kpi<=x<=pi/3+kpi),(0<=0x<3/4pi+2kpi vvv 5/4pi + 2kpi < x <= 2kpi):}$.
Ok, è giusto fin qui?

Per fare il confronto con le soluzioni di $tan^2x-3<=0$ è più comodo risolvere $2cosx+sqrt(2)>0$ fra $-pi$ e $pi$:
$cosx>\ -sqrt(2)/2$ per $-3/4pi+2kpi E poi confrontare
${(-pi/3+kpi<=x<=pi/3+kpi),(-3/4pi+2kpi

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[Lucrezio1]

Ok, e la soluzione finale del sistema mi viene $-pi/3<=x<=pi/3$... è giusto questo?

[chiaraotta1]

Oltre a $-pi/3+2kpi<=x<=pi/3+2kpi$, mi sembra che ci sia anche $-3/4pi+2kpi

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[Lucrezio1]

Ok grazie!!!!
Adesso ho un problema con questa: $sqrt(3)cosx-sinx>=0$, risolvo con l'angolo aggiunto e mi viene $cos(x+pi/6)>=0$, e mi viene x compreso fra - pi greco mezzi e + pigreco mezzi...ma al mio libro non piacciono le soluzioni scritte così, e mi dà: $2kpi<=x<=pi/3+2kpi vv 4/3pi + 2kpi <= x <= 2pi + 2kpi$... allora, ho provato a scrivere le soluzioni nei due intervalli e a fare i calcoli, e mi esce che la soluzione è $-pi/6+2kpi <= x <= pi/3 +2kpi vv 4/3pi + 2kpi <= x <= -pi/6 + 2kpi$, che poi andrebbero benissimo unite...
chi ha ragione?
quali sono le soluzioni definitive di questa maledetta disequazione?
per favore aiutatemi

[chiaraotta1]

"Lucrezio":Ok grazie!!!!
Adesso ho un problema con questa: $sqrt(3)cosx-sinx>=0$, risolvo con l'angolo aggiunto e mi viene $cos(x+pi/6)>=0$, e mi viene x compreso fra - pi greco mezzi e + pigreco mezzi...ma al mio libro non piacciono le soluzioni scritte così, e mi dà: $2kpi<=x<=pi/3+2kpi vv 4/3pi + 2kpi <= x <= 2pi + 2kpi$... allora, ho provato a scrivere le soluzioni nei due intervalli e a fare i calcoli, e mi esce che la soluzione è $-pi/6+2kpi <= x <= pi/3 +2kpi vv 4/3pi + 2kpi <= x <= -pi/6 + 2kpi$, che poi andrebbero benissimo unite...
chi ha ragione?
quali sono le soluzioni definitive di questa maledetta disequazione?
per favore aiutatemi

$sqrt(3)cosx-sinx>=0->2cos(x+pi/6)>=0->cos(x+pi/6)>=0$.
Soluzioni
$-pi/2+2kpi<=x+pi/6<=pi/2+2kpi->-2/3pi+2kpi<=x<=pi/3+2kpi$,
che coincidono con quelle del libro
$2kpi<=x<=pi/3+2kpi vv 4/3pi + 2kpi <= x <= 2pi + 2kpi$.

[Lucrezio1]

Non mi sembra di aver tanto capito... sto impazzendo!
ad esempio: $sqrt((sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3))/(cos^2x))>0 --> sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3)>0 $
angolo aggiunto: $cos(x-pi/3)>sqrt(3)/2 -> pi/3 + 2kpi

[Behave!]

$-\pi/6+2k\pi

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[chiaraotta1]

"Lucrezio":Non mi sembra di aver tanto capito... sto impazzendo!
ad esempio: $sqrt((sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3))/(cos^2x))>0 --> sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3)>0 $
angolo aggiunto: $cos(x-pi/3)>sqrt(3)/2 -> pi/3 + 2kpi

$sqrt((sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3))/(cos^2x))>0 -> {(sqrt(3)sinx+cosx-sqrt(3)>0), (cosx!=0):}-> {(2cos(x-pi/3)>sqrt(3)), (x!=pi/2+kpi):}$,
per la prima
$2cos(x-pi/3)>sqrt(3)->cos(x-pi/3)>sqrt(3)/2 -> -pi/6 + 2kpi $
$pi/6+2kpi

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