Equazioni e disequazioni goniometriche
Risolvere le seguenti equazioni:
1)cos 5x sen3x=cos 6x sen2x
2)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
3)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x
ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.
1)cos 5x sen3x=cos 6x sen2x
2)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
3)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x
ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.
Risposte
La prima equazione la risolvi applicando le formule di Werner:
Alla fine ti rimarrà sen(2x)=sen(4x).
Cioè sen(4x)-sen(2x)=0
Attraverso le formule di duplicazione, sai che sen(4x)=2sen(2x)cos(2x)
Pertanto avremo
2sen(2x)cos(2x) - sen(2x)=0
raccogliamo sen(2x)
sen(2x)(2cos(2x)-1)=0
Per la legge dell'annullamento del prodotto, affinchè l'equazione sia verificate, uno dei due fattori dovrà essere=0
Quindi: sen(2x)=0 ==> 2x=0+2k180 ==> x = 0+k180
2cos(2x) -1=0
2cos(2x)=1
cos(2x)= 1/2
2x=60 + 2k180
x=30 + k180
Le soluzioni pertanto saranno:
x=k180 U x=30+k180
[math]\ cos \alpha sen \beta = \frac{sen (\alpha + \beta) - sen ( \alpha - \beta)}{2} [/math]
Alla fine ti rimarrà sen(2x)=sen(4x).
Cioè sen(4x)-sen(2x)=0
Attraverso le formule di duplicazione, sai che sen(4x)=2sen(2x)cos(2x)
Pertanto avremo
2sen(2x)cos(2x) - sen(2x)=0
raccogliamo sen(2x)
sen(2x)(2cos(2x)-1)=0
Per la legge dell'annullamento del prodotto, affinchè l'equazione sia verificate, uno dei due fattori dovrà essere=0
Quindi: sen(2x)=0 ==> 2x=0+2k180 ==> x = 0+k180
2cos(2x) -1=0
2cos(2x)=1
cos(2x)= 1/2
2x=60 + 2k180
x=30 + k180
Le soluzioni pertanto saranno:
x=k180 U x=30+k180
dunque
1/2 [sen (3x+5x)+sen (3x-5x)]=1/2[sen (2x+6x)+sen(2x-6x)]
1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]
1/2[sen 6x]=1/2 [sen4x]
sen 3x= sen 2x
giusto ?!?
quindi
sen 3x= k120°
sen 2x= k180°
1/2 [sen (3x+5x)+sen (3x-5x)]=1/2[sen (2x+6x)+sen(2x-6x)]
1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]
1/2[sen 6x]=1/2 [sen4x]
sen 3x= sen 2x
giusto ?!?
quindi
sen 3x= k120°
sen 2x= k180°
Fai attenzione... sen(8x)-sen(2x) NON E' UGUALE a sen(6x)!
Non puoi sottrarre gli argomenti di due funzioni seno diverse.
Devi trattare il seno come fosse un monomio.
Quindi se hai sen(8x) puoi solo aggiungerlo o sottrarlo ad altri sen(8x)
Non puoi sottrarre gli argomenti di due funzioni seno diverse.
Devi trattare il seno come fosse un monomio.
Quindi se hai sen(8x) puoi solo aggiungerlo o sottrarlo ad altri sen(8x)
1/2 [sen (3x+5x)+sen (3x-5x)]=1/2[sen (2x+6x)+sen(2x-6x)]
1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]
[sen 4x-sen x]=[sen4x- sen 2x]
sen4x-senx =sen4x-sen2x
sen4x+sen4x=senx+sen2x
:no mi sono persa....
1/2 [sen 8x-sen2x]=1/2[sen 8x-sen 4x]
[sen 4x-sen x]=[sen4x- sen 2x]
sen4x-senx =sen4x-sen2x
sen4x+sen4x=senx+sen2x
:no mi sono persa....
Non puoi dividere sen(8x) tutto fratto due non è uguale a sen(8x/2)!.. L'unica cosa che puoi fare è semplificare da ambo le parti 1/2 e sommare i monomi simili (ovvero i seni con uguale argomento)
Una volta semplificato 1/2 che è fattore da entrambe le parti, semplificherai sen(8x) che ti si propone sia a destra che asinistra, e ti rimarrà
sen(2x)=sen(4x)
Come andare avanti, ce l'hai nel mio primo post di risposta
Una volta semplificato 1/2 che è fattore da entrambe le parti, semplificherai sen(8x) che ti si propone sia a destra che asinistra, e ti rimarrà
sen(2x)=sen(4x)
Come andare avanti, ce l'hai nel mio primo post di risposta
ok ho capito senti ho una domanda
alcune volte mi capita di vedere che
cos= + o - beta +k360°
altre volte cos=+ beta +k360° e cos=180°-beta+k360°
ora quale è la differenza?!?Quando devo usarli?
alcune volte mi capita di vedere che
cos= + o - beta +k360°
altre volte cos=+ beta +k360° e cos=180°-beta+k360°
ora quale è la differenza?!?Quando devo usarli?
Non è molto chiara la tua domanda..
dunque allora in alcuni esercizi mi è capitato di avere le soluzioni ma non combaciavano con le mie .
un esempio di quello che cercavo di dirti è :
la mia soluzione => -30°
un esempio di quello che cercavo di dirti è :
la mia soluzione => -30°
Allora, l'esempio del valore assoluto l'ho capito e provo a spiegartelo.
Dal momento che hai un valore assoluto, appunto, la soluzione come l'hai scritta tu è incompleta.
Ti faccio un esempio..
|x + 1|>1
Se x+1>0 (x>1), il valore assoluto non opera (perchè l'argomento è già positivo..)
x+1>1 ==> x>0
Ma noi stavamo studiando solo per x>1. Quindi la soluzione di questo pezzo è x>1 (perchè è più restrittivo ovvero è la soluzione del sistema)
A questa soluzione dobbiamo però aggiungere quello che ci darà il secondo caso:
per x+1
Dal momento che hai un valore assoluto, appunto, la soluzione come l'hai scritta tu è incompleta.
Ti faccio un esempio..
|x + 1|>1
Se x+1>0 (x>1), il valore assoluto non opera (perchè l'argomento è già positivo..)
x+1>1 ==> x>0
Ma noi stavamo studiando solo per x>1. Quindi la soluzione di questo pezzo è x>1 (perchè è più restrittivo ovvero è la soluzione del sistema)
A questa soluzione dobbiamo però aggiungere quello che ci darà il secondo caso:
per x+1
Grazie...però purtroppo ho ancora bisogno di molto aiuto.
1)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
2)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x
ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.
3)2Log tg x/2 =Log(1-cos x) -1/2 Log 3 -Log sen x
grazie mille a colui o colei che mi risponderà ....ho mille dubbi e un'unica certezza il compito di mercoledì su queste cose....
1)sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
2)determinare il valore del parametro a per il quale l'equazione a
________ _ 4 sen ^2x=1
cos^2 x
ammette la soluzione x=60° ,risolvere poi l'equazione così ottenuta.
3)2Log tg x/2 =Log(1-cos x) -1/2 Log 3 -Log sen x
grazie mille a colui o colei che mi risponderà ....ho mille dubbi e un'unica certezza il compito di mercoledì su queste cose....
Vediamo il primo:
sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
Applicando le formule di addizione otterremo
senxcos10 - cosxsen10+2(cosxcos80-senxsen80)-(cosxcos170-senxsen170)
cos80=cos(90-10)=sen10
sen80=sen(90-10)=cos10
cos170=cos(180-10)=-cos10
sen170=sen(180-10)=sen10
Pertanto
senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10-(-cosxcos10-senxsen10)=0
senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10+cosxcos10+senxsen10=0
-senxcos10+cosxsen10+cosxcos10+senxsen10=0
Da qui devo ragionarci un po' su, perchè mi sono bloccato! Però ho pensato che magari tu riesci ad andare avanti.. Unica cosa: controlla che l'argomento dell'ultimo coseno sia x+170 (perchè se fosse x-170 sarebbe molto meglio... io comunque continuo a ragionare sul da farsi).
sen(x-10°)+2 cos(x+80°)-cos(x+170°)=0
Applicando le formule di addizione otterremo
senxcos10 - cosxsen10+2(cosxcos80-senxsen80)-(cosxcos170-senxsen170)
cos80=cos(90-10)=sen10
sen80=sen(90-10)=cos10
cos170=cos(180-10)=-cos10
sen170=sen(180-10)=sen10
Pertanto
senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10-(-cosxcos10-senxsen10)=0
senxcos10-cosxsen10+2cosxsen10-2senxcos10+cosxcos10+senxsen10=0
-senxcos10+cosxsen10+cosxcos10+senxsen10=0
Da qui devo ragionarci un po' su, perchè mi sono bloccato! Però ho pensato che magari tu riesci ad andare avanti.. Unica cosa: controlla che l'argomento dell'ultimo coseno sia x+170 (perchè se fosse x-170 sarebbe molto meglio... io comunque continuo a ragionare sul da farsi).
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