Equazioni differenziali in Fisica
Salve,
visto il carattere della nuova prova di maturità incentrata più sulle applicazioni matematiche che su Analisi vorrei condividere con voi alcuni appunti. Queste lezioni sono state tenute dal nostro professore di Fisica. Premetto che questo vuole essere solo un mio tentativo di riuscire a condividere qualcosa nel modo più chiaro possibile. Sono presenti nella rete dispense molto più complete e soprattutto scritte da persone più autorevoli dunque se volete approfondire gli argomenti rifatevi a quelle.
La prossima "puntata" riguarderà l'oscillatore di particelle. Sarebbe molto gradito un vostro feedback e soprattutto se vi è stato utile. Alcuni passaggi, i più semplici, sono stati dati per scontati per questione di spazio. Segnalatemi qualsiasi errore o imprecisione, sono qui per imparare. Grazie per l'attenzione
visto il carattere della nuova prova di maturità incentrata più sulle applicazioni matematiche che su Analisi vorrei condividere con voi alcuni appunti. Queste lezioni sono state tenute dal nostro professore di Fisica. Premetto che questo vuole essere solo un mio tentativo di riuscire a condividere qualcosa nel modo più chiaro possibile. Sono presenti nella rete dispense molto più complete e soprattutto scritte da persone più autorevoli dunque se volete approfondire gli argomenti rifatevi a quelle.
Leggi Orarie
Il secondo principio della dinamica, nel caso unidimensionale, può essere scritto come
(1) $F=ma$
Esplicitiamo ora l'accelerazione come la derivata prima della velocità in funzione del tempo
(2) $F/m=(dv)/(dt)$
La (2) è un' equazione differenziale del primo ordine, risolvibile separando le variabili
(3) $F/mdt=dv$
Nella (3) $F/m$ rappresenta $a$ che è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato). Integriamo entrambi i membri
(4) $ a int_(t_0)^(t)dt= int_(v_0)^(v) dv $
Risolviamo l'integrale indefinito e poi sostituiamo
(5) $a(t-t_0)=v-v_0$
Nel caso in cui $v_0=0$ e $t_0=0$ avremo
(6) $v=at$
Abbiamo dunque trovato la prima relazione che ci occorre. Ora passiamo a trovare l'equazione per lo spazio percorso
Similmente a come abbiamo fatto nella (2) scriviamo $v$ come la derivata prima dello spazio in funzione del tempo
(7) $(dS)/(dt)=at$
Ancora una volta ci si presenta un'equazione differenziale di primo ordine risolvibile analogamente alla (4)
(8) $ int_(S_0)^(S) dS =aint_(t_0)^(t) t dt $
Risolvendo gli integrali indefiniti, entrambi immediati, sostituiamo i valori
(9) $S-S_0= a1/2(t^2-t_0^2)$
Nel caso in cui $S_0=0$ e $t_0=0$ abbiamo
(10) $S=1/2at^2$
Abbiamo così trovato le due relazioni fondamentali per lo spazio e la velocità nel m.r.u.a
Il secondo principio della dinamica, nel caso unidimensionale, può essere scritto come
(1) $F=ma$
Esplicitiamo ora l'accelerazione come la derivata prima della velocità in funzione del tempo
(2) $F/m=(dv)/(dt)$
La (2) è un' equazione differenziale del primo ordine, risolvibile separando le variabili
(3) $F/mdt=dv$
Nella (3) $F/m$ rappresenta $a$ che è costante (moto rettilineo uniformemente accelerato). Integriamo entrambi i membri
(4) $ a int_(t_0)^(t)dt= int_(v_0)^(v) dv $
Risolviamo l'integrale indefinito e poi sostituiamo
(5) $a(t-t_0)=v-v_0$
Nel caso in cui $v_0=0$ e $t_0=0$ avremo
(6) $v=at$
Abbiamo dunque trovato la prima relazione che ci occorre. Ora passiamo a trovare l'equazione per lo spazio percorso
Similmente a come abbiamo fatto nella (2) scriviamo $v$ come la derivata prima dello spazio in funzione del tempo
(7) $(dS)/(dt)=at$
Ancora una volta ci si presenta un'equazione differenziale di primo ordine risolvibile analogamente alla (4)
(8) $ int_(S_0)^(S) dS =aint_(t_0)^(t) t dt $
Risolvendo gli integrali indefiniti, entrambi immediati, sostituiamo i valori
(9) $S-S_0= a1/2(t^2-t_0^2)$
Nel caso in cui $S_0=0$ e $t_0=0$ abbiamo
(10) $S=1/2at^2$
Abbiamo così trovato le due relazioni fondamentali per lo spazio e la velocità nel m.r.u.a
Decadimento Radiattivo
Partiamo della relazione che descrive il numero di particelle che decadono nel tempo
(1) $DeltaN=-kNDeltat$
Dove $N$ è il numero di particelle presenti ad un determinato istante, $-k$ rappresenta una costante ed il segno meno indica la decrescita delle particelle nel tempo. Esprimiamo come differenziale il numero di particelle che cambiano nel tempo
(2) $(dN)/(dt)=-kN$
Svolgendo le oppurtune modifiche possiamo riconoscere un equazione differenziale del primo ordine risolvibile separando le variabili
(3) $ int_(N_0)^(N) 1/N dN = -k int_(t_0)^(t) dt $
Risolvendo l'integrale indefinito e sostituendo otteniamo
(4) $log(N/N_0)=-k(t-t_0)$
Volendo esplicitare la $N$ applichiamo la funzione esponenziale ad entrambi i membri
(5) $N=N_0e^(-kt)$
Possiamo scrivere $k$ come $1/tau$ ottenendo la legge del decadimento radioattivo
(6) $N=N_0e^(-t/tau)$
$tau$ può essere pensato come il tempo dopo il quale $N_0$ si riduce ad un terzo. Infatti se $tau=t$ la (6) diventa $N=N_0/e$. Considerando $e$ circa $3$
Riporto qui il grafico che ci illustra come il numero degli atomi non ancora decaduti decresce in maniera esponenziale all'aumento del tempo
Partiamo della relazione che descrive il numero di particelle che decadono nel tempo
(1) $DeltaN=-kNDeltat$
Dove $N$ è il numero di particelle presenti ad un determinato istante, $-k$ rappresenta una costante ed il segno meno indica la decrescita delle particelle nel tempo. Esprimiamo come differenziale il numero di particelle che cambiano nel tempo
(2) $(dN)/(dt)=-kN$
Svolgendo le oppurtune modifiche possiamo riconoscere un equazione differenziale del primo ordine risolvibile separando le variabili
(3) $ int_(N_0)^(N) 1/N dN = -k int_(t_0)^(t) dt $
Risolvendo l'integrale indefinito e sostituendo otteniamo
(4) $log(N/N_0)=-k(t-t_0)$
Volendo esplicitare la $N$ applichiamo la funzione esponenziale ad entrambi i membri
(5) $N=N_0e^(-kt)$
Possiamo scrivere $k$ come $1/tau$ ottenendo la legge del decadimento radioattivo
(6) $N=N_0e^(-t/tau)$
$tau$ può essere pensato come il tempo dopo il quale $N_0$ si riduce ad un terzo. Infatti se $tau=t$ la (6) diventa $N=N_0/e$. Considerando $e$ circa $3$
Riporto qui il grafico che ci illustra come il numero degli atomi non ancora decaduti decresce in maniera esponenziale all'aumento del tempo
La prossima "puntata" riguarderà l'oscillatore di particelle. Sarebbe molto gradito un vostro feedback e soprattutto se vi è stato utile. Alcuni passaggi, i più semplici, sono stati dati per scontati per questione di spazio. Segnalatemi qualsiasi errore o imprecisione, sono qui per imparare. Grazie per l'attenzione
Risposte
ciao!
Toglierei anzitutto quei $d Delta$... o dici
$a=(dv)/(dt)$
o dici
$a= (Delta v)/(Delta t)$
perchè scrivi $d Delta$?
ciao!
Toglierei anzitutto quei $d Delta$... o dici
$a=(dv)/(dt)$
o dici
$a= (Delta v)/(Delta t)$
perchè scrivi $d Delta$?
ciao!
"mazzarri":
ciao!
Toglierei anzitutto quei $Delta$... o dici
$a=(dv)/(dt)$
o dici
$a= (Delta v)/(Delta t)$
perchè scrivi $d Delta$?
Inoltre nel caso delle leggi orarie i primi 3 punti mi sembrano inutili, puoi partire subito dal punto 4 sapendo che
$a=(dv)/(dt)$ e integrando (con $a$ costante)
Nel secondo esempio decadimentoradioattivo non ho capito come passi dal punto 1 al punto 2
Hai ragione. Il mio intento era prima scrivere $(DeltaV)/(Deltat)$ e poi passare a $(dv)/(dt)$, copiando e incollando si è incasinato tutto.
Inoltre nel caso delle leggi orarie i primi 3 punti mi sembrano inutili, puoi partire subito dal punto 4 sapendo che
$a=(dv)/(dt)$ e integrando (con $a$ costante)
Nel secondo esempio decadimento radioattivo non ho capito come passi dal punto 1 al punto 2... direi che è scorretto il punto 1... se N varia nel tempo allora non può essere $N(t)=-kN_0$ perchè non dici che cosa è $N_0$, sembra una costante.... allora $N$ non varia nel tempo... poi mi dici che la sua derivata temporale è la stessa cosa di prima... non è chiaro... forse al secondo membro maca un $t$...
$a=(dv)/(dt)$ e integrando (con $a$ costante)
Nel secondo esempio decadimento radioattivo non ho capito come passi dal punto 1 al punto 2... direi che è scorretto il punto 1... se N varia nel tempo allora non può essere $N(t)=-kN_0$ perchè non dici che cosa è $N_0$, sembra una costante.... allora $N$ non varia nel tempo... poi mi dici che la sua derivata temporale è la stessa cosa di prima... non è chiaro... forse al secondo membro maca un $t$...
Per quanto riguarda il decadimento radiattivo comprendo l'osservazione su $N_0$ e provvedo alla modifica, sono stato un pò troppo superficiale. Per il passaggio dalla (1) alla (2) se lo scrivo in questi termini ti è più chiaro $DeltaN=-kN_0Deltat$ dunque $(DeltaN)/(Deltat)=-kN_0$? Per i passaggi sulle leggi orarie ho deciso di partire in quel modo perchè quando il professore ha svolto la dimostrazione in classe ci sono stati alcuni "problemi" di comprensione ed ho quindi riportato lo svolgimento più completo e semplificato. Ciò non toglie la correttezza della tua affermazione.
Ti ringrazio per la tua disponibilità e mi scuso per questi banali errori frutto anche delle prime esperienze con post di questo tipo
Ti ringrazio per la tua disponibilità e mi scuso per questi banali errori frutto anche delle prime esperienze con post di questo tipo
Sul decadimento radioattivo farei ancora un'ultima correzione, al punto 1 metterei $N$ e non $N_0$ se no non è charo come mai passi al punto 2... $N$ è il numero di atomi presenti al tempo $t$... mentre dopo poi integrando viene fuori $N_0$ come numero di atomi presenti al tempo $t_0$
ciao xAle!!
ciao xAle!!
"mazzarri":
Sul decadimento radioattivo farei ancora un'ultima correzione, al punto 1 metterei $N$ e non $N_0$ se no non è charo come mai passi al punto 2... $N$ è il numero di atomi presenti al tempo $t$... mentre dopo poi integrando viene fuori $N_0$ come numero di atomi presenti al tempo $t_0$
ciao xAle!!
Sistemato. Grazie per l'aiuto
$ int_(S_0)^(S) dS =aint_(t_0)^(t) t dt $
$ int_(N_0)^(N) 1/N dN = -k int_(t_0)^(t) dt $
Accidenti, odio vedere integrali definiti in cui gli estremi di integrazione corrispondono alla variabile di integrazione, dannati fisici
"Vulplasir":$ int_(S_0)^(S) dS =aint_(t_0)^(t) t dt $
$ int_(N_0)^(N) 1/N dN = -k int_(t_0)^(t) dt $
Accidenti, odio vedere integrali definiti in cui gli estremi di integrazione corrispondono alla variabile di integrazione, dannati fisici
Un po come quando "dividiamo" con leggerezza per $dy$ o $dx$ per separare le variabili...
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