Equazioni di secondo grado !!

[Pino Pastrocchio]

come acciderbolinainaina si risolve l'esercizio 13 ?

[Max 2433/BO]

[math] \frac {x\;+\;5}{x} \;+\; \frac {x}{x\;+\;1} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {(x\;+\;1)(x\;+\;5) \;+\; x^2}{x^2\;+\;x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {x^2\;+\;5x\;+\;x\;+\;5\;+\; x^2}{x^2\;+\;x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {2x^2\;+\;6x\;+\;5}{x^2+x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {2x^2\;+\;6x}{x^2+x} \;=\; 0[/math]

[math] \frac {2x(x\;+\;3)}{x(x\;+\;1)} \;=\; 0[/math]

[math] \frac {2(x\;+\;3)}{(x\;+\;1)} \;=\; 0[/math]

Perchè sia uguale a 0 deve essere uguale a 0 il termine x + 3, per cui x = - 3 (soluzione valida perchè non anulla anche il denominatore).

:hi

Massimiliano

[Pino Pastrocchio]

non ho capito quando hai fatto l'mcm (o mcd, MCM non ricordo come si chiama)
potresti spiegare passo per passo? :) grazie

[Max 2433/BO]

Certamente, anzi scusami, ma avevo visto tardi il messaggio per cui ho scritto tutto di fila senza commenti...

... quindi riprendiamo:

[math] \frac {x\;+\;5}{x} \;+\; \frac {x}{x\;+\;1} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

il m.c.m è

[math] x(x\;+\;1) \;=\; x^2\;+\;x [/math]

[math] \frac {(x\;+\;1)(x\;+\;5) \;+\; x^2}{x^2\;+\;x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {x^2\;+\;5x\;+\;x\;+\;5\;+\; x^2}{x^2\;+\;x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

[math] \frac {2x^2\;+\;6x\;+\;5}{x^2+x} \;=\; \frac {5}{x^2\;+\;x} [/math]

Essendoci il termine +5 sia a sinistra che a destra dell'uguale,questi si eliminano a vicenda (portati tutti e due dalla stessa parte dell'uguale si avrebbe ...+5 -5)

[math] \frac {2x^2\;+\;6x}{x^2+x} \;=\; 0[/math]

Raccogliamo 2x al numeratore ed esprimiamo il denominatore nella forma x(x+1) in modo da poter semplificare ulteriormente...

[math] \frac {2x(x\;+\;3)}{x(x\;+\;1)} \;=\; 0[/math]

[math] \frac {2(x\;+\;3)}{(x\;+\;1)} \;=\; 0[/math]

Perchè sia uguale a 0 deve essere uguale a 0 il solo nomenratore, ed in particolare dovrà essere x + 3 = 0, per cui x = - 3 (soluzione valida perchè non anulla anche il denominatore).

Spero di essere stato sufficientemente chiaro... se hai ancora dei dubbi chiedi pure.

:hi

Massimiliano

Aggiunto 4 minuti più tardi:

Nota:

Se ti è più comodo puoi tenere i denominatori uguali a x(x+1) anche dall'inizio, non cambia nulla, anzi forse è più chiaro...

[math] \frac {(x\;+\;1)(x\;+\;5) \;+\; x^2}{x(x\;+\;1)} \;=\; \frac {5}{x(x\;+\;1)} [/math]

[math] \frac {x^2\;+\;5x\;+\;x\;+\;5\;+\; x^2}{x(x\;+\;1)} \;=\; \frac {5}{x(x\;+\;1)} [/math]

[math] \frac {2x^2\;+\;6x\;+\;5}{x(x\;+\;1)} \;=\; \frac {5}{x(x\;+\;1)} [/math]

Essendoci il termine +5 sia a sinistra che a destra dell'uguale,questi si eliminano a vicenda (portati tutti e due dalla stessa parte dell'uguale si avrebbe ...+5 -5)

[math] \frac {2x^2\;+\;6x}{x(x\;+\;1)} \;=\; 0[/math]

[Pino Pastrocchio]

ok, penso di aver capito ma con gli mcm sono arrugginito e non ricordo le regole me le potresti spiegare per favore ?

[Max 2433/BO]

Per bacco Pino, ci mancherebbe....

Allora per il m.c.m. devi procedere così:

Caso numerico.

Devi innanzi tutto scomporre i numeri di cui vuoi trovare il m.c.m. come prodotto dei suoi divisori, quindi devi prendere tutti i divisori che ottieni (comuni e non comuni) con il massimo esponente e moltiplicarli tra loro.

Esempio pratico.

Trovare il m.c.m. di 3, 12, 4, 5, 10

Allora

3 non è scomponibile ulteriormente

12 = 2^2 * 3

4 = 2^2

5 non è scomponibile ulteriormente

10 = 2 * 5

I divisori comuni e non dei numeri dati, con massimo esponente sono:

2^2, 3, 5 quindi m.c.m = 2^2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60

Caso letterale, monomi e polinomi.

Il procedimento, anche in questo caso è identico, solo che, oltre a considerare la scomposizione della parte numerica dovrai considerare anche la parte letterale.

Esempio m.c.m. tra monomi:

Consideriamo i seguenti monomi

[math] 6a^2b^2c \; 4ab^2 \; ac [/math]

Iniziamo le scomposizioni:

[math] 6a^2b^2c \;=\; 2\;.\;3\;.\;a^2\;.\;b^2\;.\;c [/math]

[math] 4ab^2 \;=\; 2^2\;.\;a\;.\;b^2 [/math]

[math] ac \;=\; a\;.\;c [/math]

i termini comuni e non con massimo esponente saranno

[math] 2^2 \; 3\; a^2 \; b^2\; c [/math]

quindi il m.c.m. sarà:

[math] 2^2\;.\;3\;.\;a^2\;.\;b^2\;.\;c \;=\; 12a^2b^2c [/math]

Esempio m.c.m tra polinomi.

Qui il discorso si fa un'attimo più complesso perchè per trovare il m.c.m. tra polinomi si deve vedere prima se è possibile ridurli in prodotti di binomi.

Facciamo anche qui un esempio, troviamo il m.c.m. tra i seguenti polinomi:

[math] x^2\;-\;9 [/math]

[math] 2x^2\;+\;12x\;+\;18 [/math]

[math] 3x^2\;-\;6x\;-\;9 [/math]

Iniziamo la scomposizione:

[math] x^2\;-\;9 \;=\; (x\;+\;3)(x\;-\;3)\;e'\;un\;classico\;prodotto\;notevole [/math]

[math] 2x^2\;+\;12x\;+\;18 [/math]

iniziamo a raccogliere il 2

[math] 2(x^2\;+\;6x\;+\;9) [/math]

il termine

[math] (x^2\;+\;6x\;+\;9) [/math]

presenta 2 quadrati

[math] x^2 \;e\; 3^2 [/math]

e il loro doppio prodotto

[math] 6x [/math]

, quindi altro non è che il quadrato del binomio

[math] x\;+\;3 [/math]

Quindi

[math] 2x^2\;+\;12x\;+\;18 \;=\; 2(x\;+\;3)^2 [/math]

[math] 3x^2\;-\;6x\;-\;9 [/math]

qui raccogliamo il 3

[math] 3(x^2\;-\;2x\;-\;3) [/math]

in questo caso, per semplificare ulteriormente il termine

[math] x^2\;-\;2x\;-\;3 [/math]

si devono trovare le radici dell'equazione di secondo grado.

Presumendo che tu sappia come si fa ti tralascio tutti i passaggi e ti scrivo direttamente il risultato (se invece ti servono fammi sapere ;) ):

[math] 3(x^2\;-\;2x\;-\;3)\;=\; 3(x\;+\;1)(x\;-\;3) [/math]

Siamo allora giunti a sapere che i termini comuni e non con il massimo esponente che dovremo utilizzare per il calcolo del nostro m.c.m dei polinomi dati saranno:

[math] 2 \;,\; 3 \;,\; (x\;+\;3)^2 \;,\; (x\;-\;3) \;,\; (x\;+\;1)[/math]

e cioè

[math] 6(x\;+\;1)(x\;-\;3)(x\;+\;3)^2 [/math]

conviene non eseguire il prodotto dei singoli binomi perchè così l'utilizzo del m.c.m. risulta più semplice.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro...

... se no son qui.

:hi

Massimiliano

[Pino Pastrocchio]

comincio a capire qualcosina, quindi bisogna scomporre i termini che trovo e prendo tutti i numeri con esponente massimo e li moltiplico, se trovo tipo x^2 e x prendo solo x^2 mentre x lo lascio stare, giusto ?

ma allora perchè nell'esercizio come mcm abbiamo x^2 + x ?

scusa se la facciamo lunga ma a settembre ho l'esame e devo assolutamente superarlo D:

[Max 2433/BO]

No, tranquillo, non ti devi scusare, se ti servono delucidazioni fai bene a chiederle...

... e io spero di saperti "delucidare" :lol

Quello che hai scritto è giusto, noi, per "costruirci" in nostro m.c.m, dobbiamo prendere tutti i termini presente con il massimo esponete e moltiplicarli tra loro, quindi, come hai scritto come esempio, se hai x^2 e x prendi solo x^2

Attenzione, però, noi, nell'esercizio, dovevamo trovare il m.c.m. tra

[math] x\;,\;x+1\;,\;x^2+x [/math]

quindi, i primi due sono già "scomposti" ai minimi termini, rimane da scomporre l'ultimo, come ti ho illustrato nel post precedente:

[math] x^2+x \;=\; x(x+1) [/math]

A questo punto abbiamo i nostri termini da moltiplicare che risultano essere

[math] x \;e\; x+1 [/math]

quindi il nostro m.c.m. sarà:

[math] x \;.\; (x+1) \;e\;cioe'\; x^2+x [/math]

Fai attenzione che parlando di m.c.m di binomi e/o polinomi, quando arrivi ad una forma non ulteriormente scomponibile (nel nostro caso il termine

[math] x+1 [/math]

) questo alla fine ti conta come singolo termine da considerare nel suo insieme e non composto da due termini (nell'esempio x e 1).

:hi

Massimiliano