Equazioni di grado superiore al secondo.
ciao,
devo risolvere questa espressione, ma ho dei dubbi...
$ ( x^(2)-4 )/( x^(2)+2 )+( 3+sqrt(3) )/2=( x^(2)+2 )/(x^(2)-4 ) $
denominatore- non c'è modo di scomporre?
$ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) $
devo risolvere questa espressione, ma ho dei dubbi...
$ ( x^(2)-4 )/( x^(2)+2 )+( 3+sqrt(3) )/2=( x^(2)+2 )/(x^(2)-4 ) $
denominatore- non c'è modo di scomporre?
$ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) $
Risposte
No: $x^2-4$ sarebbe scomponibile ma farlo complicherebbe solo il tutto perché certo non ha fattori in comune con $x^2+2$ che non è scomponibile.
allora proseguo
$ [2( x^(2)-4 )( x^(2)-4 ) +3+sqrt(3) ( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ]/[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ]=[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)+2 ) ]/[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ] $
$ 2( x^(4)-4x^(2)-4x^(2)+16 )+( 3+sqrt(3) )( x^(4)-4x^(2)+2x^(2)-8 )=2( x^(4)+4x^(2)+4 ) $
$ 2x^(4)-16x^(2)+32+( 3x^(4)-12x^(2)+6x^(2)-24+x^(4sqrt(3)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3) ) ) =2x^(4)+8x^(2)+8 $
$ 2x^(4)-16x^(2)+32+3x^(4)+x^(4)sqrt(3)+6x^(2)+2x^(2)sqrt(3)-12x^(2)-4x^(2)-24-8sqrt(3)=8x^(2)+8+2x^(4) $
$ 3x^(4)+x^(4)sqrt(3)-30x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
e da qui come proseguo?????????
$ [2( x^(2)-4 )( x^(2)-4 ) +3+sqrt(3) ( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ]/[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ]=[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)+2 ) ]/[ 2( x^(2)+2 )( x^(2)-4 ) ] $
$ 2( x^(4)-4x^(2)-4x^(2)+16 )+( 3+sqrt(3) )( x^(4)-4x^(2)+2x^(2)-8 )=2( x^(4)+4x^(2)+4 ) $
$ 2x^(4)-16x^(2)+32+( 3x^(4)-12x^(2)+6x^(2)-24+x^(4sqrt(3)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3) ) ) =2x^(4)+8x^(2)+8 $
$ 2x^(4)-16x^(2)+32+3x^(4)+x^(4)sqrt(3)+6x^(2)+2x^(2)sqrt(3)-12x^(2)-4x^(2)-24-8sqrt(3)=8x^(2)+8+2x^(4) $
$ 3x^(4)+x^(4)sqrt(3)-30x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
e da qui come proseguo?????????
Scusa ma il denominatore così sparisce? Quella che tu stai risolvendo è un'equazione fratta. Quindi?
Comincia a semplificare per $sqrt 3$, poi raccogli secondo le potenze di x; ottieni
$x^4(sqrt 3+1)-2x^2(15+sqrt 3)-8=0$
che è una biquadratica; poni quindi $y=x^2$, ricavi y e ne deduci x. Dà qualche problema l'estrazione di radice e può aiutarti la formula dei radicali doppi.
Potevi anche, fin dall'inizio, porre $y=(x^2+2)/(x^2-4)$, con il che l'equazione diventava $y+(3+sqrt 3)/2=1/y$: sembra molto furbo ma in realtà non risparmia molti calcoli.
Attento all'osservazione di Vinci84: devi badare al campo di esistenza.
$x^4(sqrt 3+1)-2x^2(15+sqrt 3)-8=0$
che è una biquadratica; poni quindi $y=x^2$, ricavi y e ne deduci x. Dà qualche problema l'estrazione di radice e può aiutarti la formula dei radicali doppi.
Potevi anche, fin dall'inizio, porre $y=(x^2+2)/(x^2-4)$, con il che l'equazione diventava $y+(3+sqrt 3)/2=1/y$: sembra molto furbo ma in realtà non risparmia molti calcoli.
Attento all'osservazione di Vinci84: devi badare al campo di esistenza.
il denominatore non sparisce così, ho semplificato i passaggi, ma so che devo mettere le condizioni...
scusa, ma invece non capisco cosa intendi per "semplifica per $ sqrt(3) $
io avevo raccolto così
$ x^(4)( 3+sqrt(3) )-2x^(2)( 15+sqrt(3) ) -8sqrt(3) $
scusa, ma invece non capisco cosa intendi per "semplifica per $ sqrt(3) $
io avevo raccolto così
$ x^(4)( 3+sqrt(3) )-2x^(2)( 15+sqrt(3) ) -8sqrt(3) $
Anche il tuo procedimento va bene; parlando di semplificare per $sqrt3$ io intendevo dire che l'equazione
$ 3x^(4)+x^(4)sqrt(3)-30x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
può essere pensata come
$sqrt 3*sqrt3 x^4+x^(4)sqrt(3)-10*sqrt3*sqrt3 x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
$ 3x^(4)+x^(4)sqrt(3)-30x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
può essere pensata come
$sqrt 3*sqrt3 x^4+x^(4)sqrt(3)-10*sqrt3*sqrt3 x^(2)-2x^(2)sqrt(3)-8sqrt(3)=0 $
se continuo con il miomodo, ecco l'altro mio problema.
sostituisco
$ x^(2)=T $
Diventa $ t^(2)( 3+sqrt(3) ))-2t(15+sqrt(3) ) -8sqrt(3)=0 $
applico la formula
t1,2= $ (+2(15+sqrt(3))+-sqrt(2( 15+sqrt(3) ) ^(2) ) -4( 3+sqrt(3) ) (8sqrt(3)))/(2(3+sqrt(3)) ) $
$ 30+2sqrt(3)+-sqrt[ 912-4( 24sqrt(3)+24 ) ] /(2( 3+sqrt(3) ) $
e adesso ???:evil:
sostituisco
$ x^(2)=T $
Diventa $ t^(2)( 3+sqrt(3) ))-2t(15+sqrt(3) ) -8sqrt(3)=0 $
applico la formula
t1,2= $ (+2(15+sqrt(3))+-sqrt(2( 15+sqrt(3) ) ^(2) ) -4( 3+sqrt(3) ) (8sqrt(3)))/(2(3+sqrt(3)) ) $
$ 30+2sqrt(3)+-sqrt[ 912-4( 24sqrt(3)+24 ) ] /(2( 3+sqrt(3) ) $
e adesso ???:evil:
Comincio col raccomandare l'uso della formula ridotta (ma perché molti amano i numeri complicati?) ed attenzione ai segni: uno è sbagliato. Ad evitare scritture complicate, calcolo solo il discriminante-
$\Delta/4=(15+sqrt3)^2+8sqrt3(3+sqrt3)=$
$=225+3+30sqrt3+24sqrt3+24=$
$=252+54 sqrt3=9(28+6 sqrt3)$
Ho messo in evidenza solo il 9 che, essendo un quadrato, ne permette la facile estrazione. Per estrarre la radice del rimanente puoi aiutarti con la fantasia oppure usare la formula dei radicali doppi; seguo il secondo metodo. In disparte calcolo
$28^2-(6 sqrt3)^2=784-108=676=26^2$
e quindi posso dire che
$sqrt(\Delta/4)=3(sqrt((28+26)/2)+sqrt((28-26)/2))=3(sqrt 27-1)=3(3 sqrt3-1)$
Il resto dei calcoli non dovrebbe darti difficoltà; ricorda che devi razionalizzare il risultato.
$\Delta/4=(15+sqrt3)^2+8sqrt3(3+sqrt3)=$
$=225+3+30sqrt3+24sqrt3+24=$
$=252+54 sqrt3=9(28+6 sqrt3)$
Ho messo in evidenza solo il 9 che, essendo un quadrato, ne permette la facile estrazione. Per estrarre la radice del rimanente puoi aiutarti con la fantasia oppure usare la formula dei radicali doppi; seguo il secondo metodo. In disparte calcolo
$28^2-(6 sqrt3)^2=784-108=676=26^2$
e quindi posso dire che
$sqrt(\Delta/4)=3(sqrt((28+26)/2)+sqrt((28-26)/2))=3(sqrt 27-1)=3(3 sqrt3-1)$
Il resto dei calcoli non dovrebbe darti difficoltà; ricorda che devi razionalizzare il risultato.
mi sono accorto che non si vede quello che ho scritto
$ [ 30+2sqrt(3)+-sqrt(912-4(24sqrt(3)+24 ) ) ]/[ 2( 3+sqrt(3) ) ] $
$ [ 30+2sqrt(3)+-sqrt(912-4(24sqrt(3)+24 ) ) ]/[ 2( 3+sqrt(3) ) ] $
grazie mille, sinceramente.......era complicato!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo