Equazioni della simmetria assiale nel piano cartesiano

[laugellifrancesco]

esempi di simmetria rispetto alla retta di equazione x uguale K

[BIT5]

la retta x=k e' una retta parallela all'asse y.

Data una funzione qualunque, essa sara' simmetrica alla retta y=k se tutti i punti del tipo k+x_0=k-x_0

Ad esempio:

[math] y=x^2-2x+1 [/math]

E' una parabola, ed e' simmetrica rispetto alla retta x=1

infatti:

[math] f(x)=x^2-2x+1 [/math]

[math] f(1-x)=(1-x)^2-2(1-x)+1=1-2x+x^2-2+2x+1=x^2 [/math]

[math] f(1+x)=x^2+2x+1-2-2x+1=x^2 [/math]

E siccome

[math] f(1+x)=f(1-x) [/math]

avremo che la funzione e' simmetrica rispetto alla retta y=1

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Per trovare delle funzioni simmetriche ad una parallela all'asse x, puoi, ad esempio, prendere una funzione pari qualunque ed eseguire una traslazione.

Ad esempio:

[math] f(x)= \frac{x^2+3}{x^4} [/math]

e' una funzione pari

infatti

[math] f(-x)= \frac{(-x)^2+3}{(-x)^4}= \frac{x^2+3}{x^4}=f(x) [/math]

A questo punto puoi tranquillamente renderla parallela a qualunque retta del tipo x=k, traslandola.

Quindi avra

[math] f(x-k)= \frac{(x-k)^2+3}{(x+k)^4} [/math]

Per qualunque valore di k, la funzione sara' simmetrica alla retta x=k.

ESEMPIO:

[math] f(x)= \cos x [/math]

La funzione traslata

[math] f(x+ \frac{\pi}{2})=\cos (x+ \frac{\pi}{2})= \sin x [/math]

sara' una funzione simmetrica alla retta

[math] y=- \frac{\pi}{2} [/math]

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