Equazioni con numeri complessi
Ciao.
Ieri mi sono trovato davanti un'equazione complessa del tipo:
Sul Bramanti è descritta solo l'equazione complessa di secondo grado: deve essere risolta con la classica formula che si usa normalmente per le equazioni di secondo grado, stando attenti alla radice del numero complesso. Per tutte le altre equazioni non è descritto alcun metodo risolutivo.
Provando ad applicare la formuletta, risulta:
La
Da qualche parte su internet ho anche trovato qualcosa sulle equazioni complesse... (non mi ricordo dove): in pratica si metteva a sistema la parte reale uguagliata a zero con la parte immaginaria anch'essa uguagliata a zero. Questo metodo a cosa serve?
Ieri mi sono trovato davanti un'equazione complessa del tipo:
[math]z^2+3iz+4=0[/math]
Sul Bramanti è descritta solo l'equazione complessa di secondo grado: deve essere risolta con la classica formula che si usa normalmente per le equazioni di secondo grado, stando attenti alla radice del numero complesso. Per tutte le altre equazioni non è descritto alcun metodo risolutivo.
Provando ad applicare la formuletta, risulta:
[math]z_{1,2}\frac{-3i\pm \sqrt{9i^2-16}}{2}[/math]
La
[math]i^2[/math]
equivale a -1... ma così non posso risolverla. Cosa sbaglio? (Il risultato deve tener conto del segno "meno"?) Oppure è consigliabile trasformare z in a+ib?Da qualche parte su internet ho anche trovato qualcosa sulle equazioni complesse... (non mi ricordo dove): in pratica si metteva a sistema la parte reale uguagliata a zero con la parte immaginaria anch'essa uguagliata a zero. Questo metodo a cosa serve?
Risposte
attento a come usi quella formula, per estrarre la radice (di qualsiasi indice) di un numero complesso si fa in tutt'altro modo. quel metodo è tendenzialmente sbagliato, e ti spiego perchè:
9j^2 = -9
-9-16 = -25 = 25j^2
ora sappiamo che nel campo reale rad(x^2) = |x|, ossia un numero sempre positivo. ma non puoi dire nulla sulla positività/negatività di 5j, perchè in campo complesso la relazione d'ordine non vale, e quindi non puoi dire se 5j > 0 (o il contrario), di conseguenza non sai che segno metterci davanti nel momento in cui estrai la radice.
la formula per le equazioni di secondo grado complesse si definisce allora in maniera diversa:
z 1,2 = [-b + rad(delta)] / 2a
dove per estrarre la radice usi il teorema:
per cui se la radice è di indice 2 ottieni 2 valori della radice (per k = 0 e k = 1)
se vuoi puoi anche porre z = a+ib, il risultato non cambia
9j^2 = -9
-9-16 = -25 = 25j^2
ora sappiamo che nel campo reale rad(x^2) = |x|, ossia un numero sempre positivo. ma non puoi dire nulla sulla positività/negatività di 5j, perchè in campo complesso la relazione d'ordine non vale, e quindi non puoi dire se 5j > 0 (o il contrario), di conseguenza non sai che segno metterci davanti nel momento in cui estrai la radice.
la formula per le equazioni di secondo grado complesse si definisce allora in maniera diversa:
z 1,2 = [-b + rad(delta)] / 2a
dove per estrarre la radice usi il teorema:
[math] \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{|x|}e^{\frac{\theta + 2k \pi}{n}} [/math]
con k = 0,...,n-1.per cui se la radice è di indice 2 ottieni 2 valori della radice (per k = 0 e k = 1)
se vuoi puoi anche porre z = a+ib, il risultato non cambia
A parte la spiegazione di xico87, vorrei far notare che
da cui
[math]z_{1,2}=\frac{-3i\pm\sqrt{-25}}{2}=\frac{-3i\pm 5i}{2}[/math]
da cui
[math]z_1=-4i,\ z_2=i[/math]
.
Ti ringrazio. Quindi verrebbe:
Ehm... l'angolo
P.S: Perché nella formula scrivi 4a? Non 2a come la formula comune?
@ Ciampax:
Grazie. Quindi non è necessario calcolare la radice complessa? Il risultato dell' esercizio indicato è: 4i e i (senza -). E' un errore di stampa?
E se invece sostituissi z=x+iy?
Il sistema deve essere come il seguente?
Solo che non è banale risolvere ilprecedente sistema...
Ehm... l'angolo
[math]\theta[/math]
che in genere trovo calcolando la tangente... qui come lo trovo?P.S: Perché nella formula scrivi 4a? Non 2a come la formula comune?
@ Ciampax:
Grazie. Quindi non è necessario calcolare la radice complessa? Il risultato dell' esercizio indicato è: 4i e i (senza -). E' un errore di stampa?
E se invece sostituissi z=x+iy?
[math](x+iy)^2+3i(x+iy)+4=0[/math]
[math]x^2-y^2+2xyi+3xi-3y+4=0[/math]
Il sistema deve essere come il seguente?
[math]
\begin{cases}
& x^2-y^2-3y+4=0
& 2xy+3x=0
\end{cases}
[/math]
\begin{cases}
& x^2-y^2-3y+4=0
& 2xy+3x=0
\end{cases}
[/math]
Solo che non è banale risolvere ilprecedente sistema...
perchè avevo sbagliato. ho corretto anche dopo (era radice n-esima del modulo di x, non semplicemente il modulo).
per trovare l'angolo è semplice: -25 lo puoi riscrivere come 25(cos(pgreco) + j*sen(pgreco))
il succo del discorso è che puoi anche usare quella del libro, basta sapere che non è concettualmente corretta anche se pervieni allo stesso risultato
per trovare l'angolo è semplice: -25 lo puoi riscrivere come 25(cos(pgreco) + j*sen(pgreco))
il succo del discorso è che puoi anche usare quella del libro, basta sapere che non è concettualmente corretta anche se pervieni allo stesso risultato
Le soluzioni sono quelle che ho scritto io! :asd
Se risolvi con il sistema, osserva che la seconda equazione diventa
e quindi,
Se
che ha come soluzioni
Se invece
che non ha soluzioni (ricorda che x deve essere reale!).
Quindi le soluzioni sono quelle scritte prima.
Se risolvi con il sistema, osserva che la seconda equazione diventa
[math]x(2y+3)=0[/math]
e quindi,
[math]x=0,\qquad y=-3/2[/math]
.Se
[math]x=0[/math]
la prima equazione diviene[math]-y^2-3y+4=0[/math]
che ha come soluzioni
[math]y=1,\ y=-4[/math]
e quindi i numeri complessi[math]z=0+1\cdot i=i,\qquad z=0-4\cdot i=-4 i[/math]
.Se invece
[math]y=-3/2[/math]
la prima equazione diventa[math]x^2+\frac{43}{4}=0[/math]
che non ha soluzioni (ricorda che x deve essere reale!).
Quindi le soluzioni sono quelle scritte prima.
(Z+3/2+i)^3 = (1-i)^14/32 potreste indirizzarmi alla soluzione .. Sono molto titubante .. Grazie
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