Equazioni con Integrali
Domanda veloce.
Se io so che: $a=\frac{d^2x}{dt^2}$ posso scrivere $dt^2=\frac{1}{a}d^2x$.
Se voglio ricavare t, come posso fare? Come devo fare ad integrare?
Ho visto un problema simile dove al posto di $a$(cioè accellerazione) c'era $v$, quindi da $v=\frac{dx}{dt}$ si riusciva ad integrare normalmente, o quantomeno in modi che conoscevo o ho gia visto. Si può estendere questo ragionamento anche con $a$? Ovviamente sia $a$ che $v$ sono in funzione di $x$.
Se io so che: $a=\frac{d^2x}{dt^2}$ posso scrivere $dt^2=\frac{1}{a}d^2x$.
Se voglio ricavare t, come posso fare? Come devo fare ad integrare?
Ho visto un problema simile dove al posto di $a$(cioè accellerazione) c'era $v$, quindi da $v=\frac{dx}{dt}$ si riusciva ad integrare normalmente, o quantomeno in modi che conoscevo o ho gia visto. Si può estendere questo ragionamento anche con $a$? Ovviamente sia $a$ che $v$ sono in funzione di $x$.
Risposte
Con la velocità hai
$a=(dv)/(dt)$
da cui
$int dv= int a dt$
molto semplice da risolvere...stai risolvendo una equazione differenziale a variabili separabili di primo grado!
Quello che tu stai cercando di proporre è forse una equazione differenziale di secondo grado?
Scrivi l'esercizio per intero in modo da capirci qualcosa di più?
se no mi viene da dirti che la risoluzione della equazione che tu proponi è la formula che tutti conosciamo
$x=x_0+v_0t+(1/2) a t^2$
$a=(dv)/(dt)$
da cui
$int dv= int a dt$
molto semplice da risolvere...stai risolvendo una equazione differenziale a variabili separabili di primo grado!
Quello che tu stai cercando di proporre è forse una equazione differenziale di secondo grado?
Scrivi l'esercizio per intero in modo da capirci qualcosa di più?
se no mi viene da dirti che la risoluzione della equazione che tu proponi è la formula che tutti conosciamo
$x=x_0+v_0t+(1/2) a t^2$
Intanto grazie per la risposta!
L'esercizio è di fisica, dove in pratica si ha un'accellerazione in funzione della posizione $a(x)$. Si chiede di trovare il tempo impiegato per andare da un punto a un altro. Avevo già fatto un esercizio in cui si aveva la velocità in funzione della posizione, quindi avevo fatto $v(x)=\frac {dx}{dt}$ da cui $dt=\frac {1}{v(x)}dx$. Poi li ho integrato entrambi i membri da un punto all'altro e avevo trovato $t$. Ora ho trovato questo nuovo esercizio, con l'unica differenza in cui si aveva l'accelerazione al posto della velocità, quindi ho pensato che si potesse fare una cosa simile, ma arrivato al l'equazione da integrare mi trovo in difficoltà perchè non so come procedere. Dico anche che non so se il procedimento è giusto perché di equazioni differenziali so praticamente nulla, e di solito mi faccio aiutare da Wolfram Alpha.
L'esercizio è di fisica, dove in pratica si ha un'accellerazione in funzione della posizione $a(x)$. Si chiede di trovare il tempo impiegato per andare da un punto a un altro. Avevo già fatto un esercizio in cui si aveva la velocità in funzione della posizione, quindi avevo fatto $v(x)=\frac {dx}{dt}$ da cui $dt=\frac {1}{v(x)}dx$. Poi li ho integrato entrambi i membri da un punto all'altro e avevo trovato $t$. Ora ho trovato questo nuovo esercizio, con l'unica differenza in cui si aveva l'accelerazione al posto della velocità, quindi ho pensato che si potesse fare una cosa simile, ma arrivato al l'equazione da integrare mi trovo in difficoltà perchè non so come procedere. Dico anche che non so se il procedimento è giusto perché di equazioni differenziali so praticamente nulla, e di solito mi faccio aiutare da Wolfram Alpha.
Integrando l'accelerazione trovi la velocità, e da questa, procedendo come hai già fatto prima, trovi il tempo.
Grazie mille!
Ho provato a svolgere l'esercizio e non mi viene 
Forse non ho capito bene io, ma se integro $\int a(x) dx $ mi esce una cosa dimensionalmente scorretta, quindi escludo che si faccia così. Se invece integro $\int a(x) dt$ mi esce $t\cdot a(x)$ e poi non so come fare per finire.
Forse non ho capito bene io, ma se integro $\int a(x) dx $ mi esce una cosa dimensionalmente scorretta, quindi escludo che si faccia così. Se invece integro $\int a(x) dt$ mi esce $t\cdot a(x)$ e poi non so come fare per finire.
Chiaramente non devi usare $\int a(x) dx $ perché l'accelerazione è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo e non allo spazio stesso. Devi usare $\int a(x) dt$ dove, però $x=x(t)$ perché la posizione nello spazio dipende dal tempo, quindi sarebbe meglio scrivere $\int a(x(t)) dt$ e il risultato non è $t*a(x)$.
Perché non posti il testo dell'esercizio?
Perché non posti il testo dell'esercizio?
Grazie della risposta. Ho capito il passaggio $\int a(x(t)) dt$, ma non saprei come proseguire... Credo di essermi imbattuto in qualcosa che non so affrontare. Comunque mi piacerebbe sapere come si va avanti.
Il problema é: se la terra smettesse improvvisamente il suo moto di rivoluzione, partendo da ferma dopo quanto tempo impatta con il Sole?
Il problema é: se la terra smettesse improvvisamente il suo moto di rivoluzione, partendo da ferma dopo quanto tempo impatta con il Sole?
scusa se intervengo ancora arna
allora in riferimento alla tua domanda iniziale i passi da fare sono
1) consideri $a dt = dv$ e integri ottenendo la velocità
2) poi consideri $ v dt = ds$ e integri ottenendo lo spazio
ATTENZIONE: non ti dimeticare mai delle "costanti di integrazione" che saranno $v_0$ e $s_0$
invece per rispondere al tuo esercizio... mi sembra si possa procedere in modo più semplice ma ovviamente attendo il responso di persone più esperte di me in fisica che non pratico più ahime da 20 anni... ma io farei così:
Se non esistesse più il moto di rotazione attorno al sole verrebbe a cessare la forza centrifuga... quindi la terra cadrebbe sul sole per via della forza attrattiva gravitazionale "di Newton"
$F=G (m_t m_s)/r^2$ dove $r$ è la distanza terra-sole
da questa formula, considerato che la $F$ in questione la puoi scrivere come $m_t a$ cioè il prodotto della massa della terra per la sua accelerazione, ti ricavi, appunto il valore dell'accelerazione $a$
Dopodichè hai un moto uniformemente accelerato per cui la distanza percorsa sarà nel nostro caso
$r=1/2 a t^2$
dato che $r$ altro non è che la distanza terra-sole (è nota) ti ricavi $t$ che ti dovrebbe dare la risposta cercata
secondo i miei calcoli dovrebbe essere
$t=7131196 s$ cioè circa 82 giorni
Sempre che non abbia commesso errori e che la mia ventennale assenza dalla fisica non mi abbia fatto dire castronate terribili, scusa se fosse così!!!
allora in riferimento alla tua domanda iniziale i passi da fare sono
1) consideri $a dt = dv$ e integri ottenendo la velocità
2) poi consideri $ v dt = ds$ e integri ottenendo lo spazio
ATTENZIONE: non ti dimeticare mai delle "costanti di integrazione" che saranno $v_0$ e $s_0$
invece per rispondere al tuo esercizio... mi sembra si possa procedere in modo più semplice ma ovviamente attendo il responso di persone più esperte di me in fisica che non pratico più ahime da 20 anni... ma io farei così:
Se non esistesse più il moto di rotazione attorno al sole verrebbe a cessare la forza centrifuga... quindi la terra cadrebbe sul sole per via della forza attrattiva gravitazionale "di Newton"
$F=G (m_t m_s)/r^2$ dove $r$ è la distanza terra-sole
da questa formula, considerato che la $F$ in questione la puoi scrivere come $m_t a$ cioè il prodotto della massa della terra per la sua accelerazione, ti ricavi, appunto il valore dell'accelerazione $a$
Dopodichè hai un moto uniformemente accelerato per cui la distanza percorsa sarà nel nostro caso
$r=1/2 a t^2$
dato che $r$ altro non è che la distanza terra-sole (è nota) ti ricavi $t$ che ti dovrebbe dare la risposta cercata
secondo i miei calcoli dovrebbe essere
$t=7131196 s$ cioè circa 82 giorni
Sempre che non abbia commesso errori e che la mia ventennale assenza dalla fisica non mi abbia fatto dire castronate terribili, scusa se fosse così!!!
Le costanti di integrazione ogni tanto me le perdo, ma in questo caso specifico il problema dice che parte da ferma quindi credo che $v_0=0$, mentre forse hai ragione su $s_0$.
Per il problema: dato che la forza dipende dalla distanza, lo farà anche l'accelerazione. Quindi man mano che la terra si avvicina al Sole l'accelerazione aumenta, quindi non possiamo usare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Per il problema: dato che la forza dipende dalla distanza, lo farà anche l'accelerazione. Quindi man mano che la terra si avvicina al Sole l'accelerazione aumenta, quindi non possiamo usare le leggi del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Come giustamente dice arna1998, non si tratta di un moto uniformemente accelerato; bisogna invece pensare che la distanza $r$ è una funzione del tempo e considerare come incognita questa funzione. Poiché l'accelerazione è la derivata seconda della distanza e pensando alla formula di gravitazione universale, dobbiamo ricavare $r=r(t)$ dall'equazione
$(d^2r)/(dt^2)=(Gm_S)/r^2$
Si tratta però di un'equazione differenziale e la sua soluzione viene cercata solo a livello universitario, quindi mi fermo qui. Forse qualche moderatore vorrà spostare la domanda, in modo da soddisfare la curiosità di arna1998; io ho continuato con una prima integrazione piuttosto facile ma poi ce n'era una seconda che proprio non mi piaceva ed ho smesso.
EDIT L'accelerazione è nel verso in cui $r$ decresce, quindi la formula scritta va corretta premettendo un meno al secondo membro.
$(d^2r)/(dt^2)=(Gm_S)/r^2$
Si tratta però di un'equazione differenziale e la sua soluzione viene cercata solo a livello universitario, quindi mi fermo qui. Forse qualche moderatore vorrà spostare la domanda, in modo da soddisfare la curiosità di arna1998; io ho continuato con una prima integrazione piuttosto facile ma poi ce n'era una seconda che proprio non mi piaceva ed ho smesso.
EDIT L'accelerazione è nel verso in cui $r$ decresce, quindi la formula scritta va corretta premettendo un meno al secondo membro.
Mi sono documentato un po' su Internet, e ho visto che questa dovrebbe essere un'equazione differenziale di secondo ordine non-lineare. Ho trovato anche questo: http://www.****.it/lezioni/analisi-due/equazioni-differenziali/639-equazioni-differenziali-non-lineari-della-forma-ytfyt.html che dovrebbe essere la spiegazione di come risolverle. Non mi sono chiari tutti i passaggi usati, ma appena ho un po' di tempo provo a fare qualcosa, e se ho qualche dubbio particolare o qualcosa che non riesco proprio a capire chiedo a voi.
Con un EDIT ho corretto il mio precedente messaggio. Ho poi completato i calcoli: salvo miei errori, il tempo necessario per portarsi dalla distanza iniziale $R$ ad una distanza finale $r$ è dato da
$t=sqrt(R^3/(2Gm_S))(sqrt(r(R-r))/R-arctansqrt(r/(R-r))+pi/2)$
Lascio i calcoli numerici a qualche volenteroso; il risultato dovrebbe essere inferiore agli 82 giorni calcolati da Mazzarri, dato che l'accelerazione va aumentando.
$t=sqrt(R^3/(2Gm_S))(sqrt(r(R-r))/R-arctansqrt(r/(R-r))+pi/2)$
Lascio i calcoli numerici a qualche volenteroso; il risultato dovrebbe essere inferiore agli 82 giorni calcolati da Mazzarri, dato che l'accelerazione va aumentando.
Si ragazzi. E' vero le vostre valutazioni sono corrette. Non immaginavo mai più in una scuola secondaria una equazione differenziale del secondo ordine... credendo fosse un compito "da liceo" ho dato per scontato che fosse moto uniformemente accelerato sbagliando.
Arna1988, nel mio primo post ti dicevo di queste equazioni differenziali di secondo ordine.
Ma non comprendo... sono "cose da università" persino quelle del primo ordine... quelle del secondo sono "cose da dottorato" a meno che non appartengano a quei 2/3 gruppetti semplici che si risolvono con relativa tranquillità.
A dirla tutta nel link che hai postato si affronta un argomento che solitamente nemmeno all'università si affronta.
Risolvere la tua equazione è "roba grossa"
Alle superiori queste cose di solito non si trattano proprio, se sei del 98 e le affronti e cerchi di capire vuol dire che sei una grande e che la matematica e la fisica per te non saranno un problema bravissima!!! Tanto di cappello!!
Arna1988, nel mio primo post ti dicevo di queste equazioni differenziali di secondo ordine.
Ma non comprendo... sono "cose da università" persino quelle del primo ordine... quelle del secondo sono "cose da dottorato" a meno che non appartengano a quei 2/3 gruppetti semplici che si risolvono con relativa tranquillità.
A dirla tutta nel link che hai postato si affronta un argomento che solitamente nemmeno all'università si affronta.
Risolvere la tua equazione è "roba grossa"
Alle superiori queste cose di solito non si trattano proprio, se sei del 98 e le affronti e cerchi di capire vuol dire che sei una grande e che la matematica e la fisica per te non saranno un problema bravissima!!! Tanto di cappello!!
Intanto ringrazio molto mazzari per ciò che ha detto. La matematica e in particolare la fisica sono la mia passione, quindi mi piace andare a fondo nei problemi e cercare di esplorare zone di queste materie ancora a me sconosciute. Mi sa che questa volta sono andato a finire in argomenti un po' troppo "oltre", ma dato che ormai l'argomento mi ha preso molto, provo ad andare avanti e vedere dove arrivo.
EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/cancellare tutto ho fatto un nuovo post.
Tornando al problema, fissando l'origine del sistema di riferimento nel Sole, la Terra si trova inizialmente a una distanza $x(0)=R$, e ha una velocità iniziale $x'(0)=0$. L'equazione da risolvere è quindi:
$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{Gm_s}{x^2(t)}$ dove per semplificare la scrittura dopo $Gm_s=k$.
Se procedo come suggerito dal link(ora mi sono chiari i passaggi), posso scrivere:
$\frac{d[x'(t)]^2}{dt}=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}$
Proseguendo con i conti:
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}dt$
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}dx$
Se integriamo tutte due i membri: L'errore è qui, quando moltiplico tutto per $-2k$
$[x'(t)]^2=\int -\frac{2k}{x^2(t)}dx=-2k \int \frac{1}{x^2(t)}dx=-2k\cdot (C -\frac{1}{x(t)})=\frac{2k-2kC}{x(t)}$ dove $C$ è la costante di integrazione. Quindi:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(t)}}$ perché la velocità è negativa nel sistema di riferimento preso.
Per adesso dovrebbe(e correggetemi se non è così, potrei aver fatto errori stupidi e non ) essere tutto ok, dimensionalmente la velocità è in metri al secondo, poi mi sono limitato soltanto a seguire i passaggi del link.
Però da qui ho dei dubbi. La costante di integrazione a quanto deve essere uguale?
Mi sono venuto in mente 2 strade. La prima mi fa pensare che la costante $C=v_0=0$ (non ho idea del perché, ma mi sembrava possibile...) Il che vorrebbe dire: $x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}}$. Per $x(t)=0$ mi sembra ragionevole, ma per $x(0)=R$ no, perché così sarebbe: $v(0)=-\sqrt{\frac{2k}{R}}$ anzi che $0$.
Allora l'intuito mi dice provare a determinare $C$ facendo uso delle condizioni che avevo all'inizio, ovvero $x(0)=R$ e $x'(0)=0$:
$x'(0)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(0)}}$ dalla quale $0=\frac{2k-2kC}{R}$ quindi:
$C=1$
Il che non avrebbe senso perché così sarebbe: $x'(t)=0$
EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/ cancellare tutto ho fatto un nuovo post.
EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/cancellare tutto ho fatto un nuovo post.
Tornando al problema, fissando l'origine del sistema di riferimento nel Sole, la Terra si trova inizialmente a una distanza $x(0)=R$, e ha una velocità iniziale $x'(0)=0$. L'equazione da risolvere è quindi:
$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{Gm_s}{x^2(t)}$ dove per semplificare la scrittura dopo $Gm_s=k$.
Se procedo come suggerito dal link(ora mi sono chiari i passaggi), posso scrivere:
$\frac{d[x'(t)]^2}{dt}=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}$
Proseguendo con i conti:
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}\frac{dx}{dt}dt$
$d[x'(t)]^2=-\frac{2k}{x^2(t)}dx$
Se integriamo tutte due i membri: L'errore è qui, quando moltiplico tutto per $-2k$
$[x'(t)]^2=\int -\frac{2k}{x^2(t)}dx=-2k \int \frac{1}{x^2(t)}dx=-2k\cdot (C -\frac{1}{x(t)})=\frac{2k-2kC}{x(t)}$ dove $C$ è la costante di integrazione. Quindi:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(t)}}$ perché la velocità è negativa nel sistema di riferimento preso.
Per adesso dovrebbe(e correggetemi se non è così, potrei aver fatto errori stupidi e non
) essere tutto ok, dimensionalmente la velocità è in metri al secondo, poi mi sono limitato soltanto a seguire i passaggi del link. Però da qui ho dei dubbi. La costante di integrazione a quanto deve essere uguale?
Mi sono venuto in mente 2 strade. La prima mi fa pensare che la costante $C=v_0=0$ (non ho idea del perché, ma mi sembrava possibile...) Il che vorrebbe dire: $x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}}$. Per $x(t)=0$ mi sembra ragionevole, ma per $x(0)=R$ no, perché così sarebbe: $v(0)=-\sqrt{\frac{2k}{R}}$ anzi che $0$.
Allora l'intuito mi dice provare a determinare $C$ facendo uso delle condizioni che avevo all'inizio, ovvero $x(0)=R$ e $x'(0)=0$:
$x'(0)=-\sqrt{\frac{2k-2kC}{x(0)}}$ dalla quale $0=\frac{2k-2kC}{R}$ quindi:
$C=1$
Il che non avrebbe senso perché così sarebbe: $x'(t)=0$
EDIT: Ho trovato un errore stupidissimo , per non riscrivere/ cancellare tutto ho fatto un nuovo post.
L'errore chiaramente sta nel passaggio dell'integrale... 
Un errore più idiota non potevo farlo 
Prima dovrebbe essere giusto.
Detto ciò si ottiene:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-2kC}$
Per determinare $C$ uso la seconda strada che ho scritto sopra, questa volta sono abbastanza convinto che sia giusto perché tutto mi torna. Tralasciando i conti: $C=\frac{1}{R}$. Possiamo quindi scrivere (finalmente!):
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che equivale a $\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
Ora ho una nuova equazione, però ci penserò domani.
Sperando di non aver fatto altri errori stupidi, ditemi se fin qua può funzionare. Grazie a tutti coloro mi stanno aiutando!
EDIT:come dice gianmaria ho dimenticato il segno meno prima delle radici. L'ho aggiunto.
Un errore più idiota non potevo farlo Prima dovrebbe essere giusto.
Detto ciò si ottiene:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-2kC}$
Per determinare $C$ uso la seconda strada che ho scritto sopra, questa volta sono abbastanza convinto che sia giusto perché tutto mi torna. Tralasciando i conti: $C=\frac{1}{R}$. Possiamo quindi scrivere (finalmente!):
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che equivale a $\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
Ora ho una nuova equazione, però ci penserò domani.
Sperando di non aver fatto altri errori stupidi, ditemi se fin qua può funzionare. Grazie a tutti coloro mi stanno aiutando!
EDIT:come dice gianmaria ho dimenticato il segno meno prima delle radici. L'ho aggiunto.
Sì, fin qui va bene, ma non dimenticare il meno davanti alla radice; tu stessa ne hai scritto il motivo.
Prima di continuare, vorrei farmi un auto-ammonimento. Parlando con un amico del risultato:
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
mi ha fatto notare che si poteva giungere a questa equazione semplicemente con un bilanciamento energetico tra energia potenziale gravitazionale e energia cinetica:
$U_i=U_f+K_f$ sviluppando tutto e chiamando $r$ la distanza finale dal Sole $\frac{Gm_s}{r}-\frac{Gm_s}{R}=\frac{1}{2}v^2$
Estarendo $v$:
$v=\sqrt{\frac{2Gm_s}{r}-\frac{2Gm_s}{R}}$ che è identico a ciò che avevamo scritto nei post precedenti
(ad eccezione del $-$, che possiamo aggiungere riflettendo un attimo sul sistema di riferimento preso)
Quindi talvolta bisogna ricordarsi anche dei soliti e semplici metodi , che possono risparmiarci molta fatica!
Guardando il lato positivo posso dire di avere imparato molto svolgendo i conti, quindi tutto sommato sono contento.
Eravamo rimasti al punto in cui:
$\frac{dx}{dt]=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che riscriviamo come:
$dt=\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx$
Integriamo tutte due i membri tra $R$ e $0$ per ottenere il tempo:
$t=\int_R^0\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx=-\frac{1}{\sqrt{2k}}\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx$
A questo punto l'integrale viene uno schifo che non so risolvere da solo(se provo la risoluzione generale con Wolfram mi escono delle $i$ nell'espressione
), quindi butto tutto in Wolfram Alpha e...
$\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx=-\frac{1}{2}\pi R^(\frac{3}{2})$
Sostituisco e finalmente ricavo:
$t=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{2Gm_s}}$
che equivalgono a $5544914s$ ovvero $64,17$ giorni!!
Dovrebbe essere finito e giusto. Ringrazio tutti quelli che mi hanno aiutato e guidato nella risoluzione del problema, senza di voi non ci sarei mai arrivato.
P.S.: sono un maschio ahahahah
$x'(t)=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$
mi ha fatto notare che si poteva giungere a questa equazione semplicemente con un bilanciamento energetico tra energia potenziale gravitazionale e energia cinetica:
$U_i=U_f+K_f$ sviluppando tutto e chiamando $r$ la distanza finale dal Sole $\frac{Gm_s}{r}-\frac{Gm_s}{R}=\frac{1}{2}v^2$
Estarendo $v$:
$v=\sqrt{\frac{2Gm_s}{r}-\frac{2Gm_s}{R}}$ che è identico a ciò che avevamo scritto nei post precedenti
(ad eccezione del $-$, che possiamo aggiungere riflettendo un attimo sul sistema di riferimento preso)Quindi talvolta bisogna ricordarsi anche dei soliti e semplici metodi , che possono risparmiarci molta fatica!
Guardando il lato positivo posso dire di avere imparato molto svolgendo i conti, quindi tutto sommato sono contento.
Eravamo rimasti al punto in cui:
$\frac{dx}{dt]=-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}$ che riscriviamo come:
$dt=\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx$
Integriamo tutte due i membri tra $R$ e $0$ per ottenere il tempo:
$t=\int_R^0\frac{1}{-\sqrt{\frac{2k}{x(t)}-\frac{2k}{R}}}dx=-\frac{1}{\sqrt{2k}}\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx$
A questo punto l'integrale viene uno schifo che non so risolvere da solo(se provo la risoluzione generale con Wolfram mi escono delle $i$ nell'espressione
), quindi butto tutto in Wolfram Alpha e...$\int_R^0\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x(t)}-\frac{1}{R}}}dx=-\frac{1}{2}\pi R^(\frac{3}{2})$
Sostituisco e finalmente ricavo:
$t=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{R^3}{2Gm_s}}$
che equivalgono a $5544914s$ ovvero $64,17$ giorni!!
Dovrebbe essere finito e giusto. Ringrazio tutti quelli che mi hanno aiutato e guidato nella risoluzione del problema, senza di voi non ci sarei mai arrivato.
P.S.: sono un maschio ahahahah
"arna1998":
A questo punto l'integrale viene uno schifo
Pienamente d'accordo, ed è il motivo per cui al primo tentativo l'avevo abbandonato. In seguito ho però dato denominatore comune ed ho posto $t=sqrt((Rx)/(R-x))$; ne risultano calcoli lunghi ma fattibili con i metodi della secondaria, senza coinvolgere numeri complessi. Trovi il risultato in un mio post precedente; il $pi/2$ deriva dalla costante di integrazione, calcolata imponendo che per $t=0$ si abbia $x=R$ (io ho chiamato $r$ quello che tu chiami $x$). Il mio risultato è in accordo con il tuo finale.
Mi fa piacere che tu ti sia reso conto del fatto che la prima integrazione conduce al principio di conservazione dell'energia: capita spesso nei problemi di fisica e per questo di solito conviene partire di lì.
L'integrale proverò a rivedermelo con calma. Grazie mille ancora!
Caro Arna, lieto di poter avere a che fare con una persona come te!
Tanto per dirti che cosa si studia all'università di fisica nei corsi "normali": equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari, eq diff del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenee o non omogenee). direi basta.
cioè del secondo ordine si impara a risolvere come massimo di difficoltà una cosa tipo
$y'' + 3 y' +5y = f(x)"$
Si incontrano invece spesso nella teoria dei problemi come il tuo perchè in fisica ogni problema che si rispetti in genere conduce a una equazione differenziale difficilotta... ma solitamente il libro ti fornisce subito la soluzione e discute i risultati, è raro che il lettore debba fare questi calcoli... anche perchè per essere fatti necessitano appunto di capacità di calcolo superiori. Il lavoro dei ricercatori e di chi fa dottorato a volte è cercare soluzioni a equazioni differenziali complicate.
Quindi ti ringrazio perchè mi hai fatto imparare un metodo di risoluzione che non conoscevo, ora ho provato anche io a risolvere la tua eq differenziale con soddisfazione personale.
Ti faccio un unico appunto "paternale": non puoi arrivare verso la fine e scrivere "A questo punto l'integrale viene uno schifo che non so risolvere da solo quindi butto tutto in Wolfram Alpha" eh no... un vero matematico/fisico come tu diventerai sicuramente ci si butta anema e core per due giorni prima di arrendersi... il software lo lasciamo a una verifica post-risultato per vedere di non aver fatto stupidate ma non ti fornisce la soluzione a un problema, quella deve venire dalle tue capacità che hai sicuramente... è un integrale da liceo e come tale magari basta un po' di fantasia tipo una sostituzione per risolverlo... provaci!!!!
hai già provato a studiare fisica/matematica su qualche testo di livello superiore? Dove i problemi vengono affrontati con formalismo non liceale? se interessa scrivimi che ti passo qualche link!
Auguri e bravissimo continua così!!!
Tanto per dirti che cosa si studia all'università di fisica nei corsi "normali": equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari, eq diff del secondo ordine a coefficienti costanti (omogenee o non omogenee). direi basta.
cioè del secondo ordine si impara a risolvere come massimo di difficoltà una cosa tipo
$y'' + 3 y' +5y = f(x)"$
Si incontrano invece spesso nella teoria dei problemi come il tuo perchè in fisica ogni problema che si rispetti in genere conduce a una equazione differenziale difficilotta... ma solitamente il libro ti fornisce subito la soluzione e discute i risultati, è raro che il lettore debba fare questi calcoli... anche perchè per essere fatti necessitano appunto di capacità di calcolo superiori. Il lavoro dei ricercatori e di chi fa dottorato a volte è cercare soluzioni a equazioni differenziali complicate.
Quindi ti ringrazio perchè mi hai fatto imparare un metodo di risoluzione che non conoscevo, ora ho provato anche io a risolvere la tua eq differenziale con soddisfazione personale.
Ti faccio un unico appunto "paternale": non puoi arrivare verso la fine e scrivere "A questo punto l'integrale viene uno schifo che non so risolvere da solo quindi butto tutto in Wolfram Alpha" eh no... un vero matematico/fisico come tu diventerai sicuramente ci si butta anema e core per due giorni prima di arrendersi... il software lo lasciamo a una verifica post-risultato per vedere di non aver fatto stupidate ma non ti fornisce la soluzione a un problema, quella deve venire dalle tue capacità che hai sicuramente... è un integrale da liceo e come tale magari basta un po' di fantasia tipo una sostituzione per risolverlo... provaci!!!!
hai già provato a studiare fisica/matematica su qualche testo di livello superiore? Dove i problemi vengono affrontati con formalismo non liceale? se interessa scrivimi che ti passo qualche link!
Auguri e bravissimo continua così!!!
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