EQUAZIONI CIRCONFERENZA E RETTE TANGENTI

[spankyna]

DEVO SVOLGERE QUESTI ESERCIZI
1 - DETERMINARE L'EQUAZIONE DELLA CIRCONFERENZA PASSANTE PER I PUNTI:
A (1;3)
B (-2;-3)
C (0;3)

ESSENDO x² + y² + ax + by + c = 0

METTENDO A SISTEMA OTTENGO X2 + Y2 -X +Y -12 = 0

2 - DETERMINARE LE COORDINATE DEI PUNTI DI INTERSEZIONE CON GLI ASSI CARTESIANI

PER AIUTARMI HO FATTO IL GRAFICO

SE L'EQUAZIONE DELLA RETTA E' y = mx + q

y2 - y1
m = --------------
x2 - x1

SOSTITUENDO:

EQUAZIONE RETTA AB => – y1 = m (x-x1) ===> y = 2x +1

EQUAZIONE RETTA BC => y – y1 = m (x-x1) ===> y = 3x +3

PER TROVARE LA X METTO A SISTEMA LE EQUAZIONI:

y = 2x +1 E y = 0

=> x = -1/2

y = 3x +3 E y = 0

=> x = -1

quindi la retta passante per B e C interseca l’asse cartesiano in (-1;0)

E' CORRETTO? O ESISTE UN ALTRO METODO?

- DETERMINARE L'EQUAZIONE DELLE RETTE TANGENTI ALLA CINCONFERENZA CONDOTTE DAI PUNTI A, B E C

E QUI MI BLOCCO NON SO COME FARE.. QUALCUNO ME LO SPIEGA??

[spankyna]

Trovare l' equazione della tangente alla circonferenza
x2+ y2 - x + y - 12 = 0
condotte dal suo punto
A(1,3)

Per trovare l'equazione della retta tangente considero il fascio di rette passante per il punto P(1,3)
y - 3 = m(x - 1)
Faccio il sistema fra la circonferenza ed il fascio di rette
x2+ y2 - x + y - 12 = 0
y = mx -m + 3

Raccolgo i termini con x2, con x ed i termini noti ed ottengo l'equazione risolvente
x2(-1 + m2) + x(2m2 + 7m -1) + m2 - 7m = 0
quindi
a = -1 + m2
b = 2m2 7 4m - 1
c = m2 - 7m

E QUI MI BLOCCO!! COME FACCIO PER RISOLVERE??

Aggiunto 34 minuti più tardi:

VEDIAMO SE HO FATTO QUALCHE PASSO IN AVANTI:

UNA VOLTA TROVATI a, b e c

TROVO IL DISCRIMINANTE

49M^2 + 14M + 1 = 0

E' UN QUADRATO PERFETTO DA CUI M=-1/7

PERO' MI SORGE UN DUBBIO SE APPLICO L'ALTRO METODO SUGGERITO AL LINK NON OTTENGO LO STESSO VALORE DI M.. CHE SIGNIFICA?

[ciampax]

Andiamo con ordine, anche perché ci sono delle cose poco leggibili (usare il latex no, eh?). L'equazione è corretta

[math]x^2+y^2-x+y-12=0[/math]

. Per i punti di intersezione basta sostituire alternativamente

[math]x=0,\ y=0[/math]

e risolvere. Per cui

[math]x=0\ \Rightarrow\ y^2+y-12=0\ \Rightarrow y=-4,\ y=3[/math]

[math]y=0\ \Rightarrow\ x^2-x-12=0\ \Rightarrow\ x=-3,\ x=4[/math]

Per cui

[math]A(0,-4),\ B(0,3),\ C(-3,0),\ D(4,0)[/math]

sono i punti cercati.
Poi mi perdo: non ho capito cosa diavolo fai nel primo post.

Per quanto riguarda le tangenti, ad esempio per quelle in A, scrivi il fascio di rette per tale punto

[math]y-3=m(x-1)[/math]

da cui si ricava

[math]y=mx-m+3[/math]

. Mettendo a sistema con l'equazione della circonferenza e sostituendo si ha

[math]x^2+m^2 x^2+(3-m)^2+2m(3-m)x-x+mx+(3-m)-12=0[/math]

o anche

[math](1+m^2)x^2+[2m(3-m)+m-1]x+(3-m)^2+(3-m)-12=0[/math]

Imponendo la condizione di tangenza, e cioè che il discriminante sia pari a zero, si ha

[math][2m(3-m)+m-1]^2-4(1+m^2)[(3-m)^2+(3-m)-12]=0[/math]

A questo punto è solo una questione di calcoli.

[Matematimondo]

Ringrazio io stesso ciampax per aver completato la risposta da me non finita.