Equazione trinomia
Sto risolvendo la seguente equazione trinomia:
$ x^2(x^2+1)+(x)/(x-1)=(x(3x^2+1)-2)/(x^2-1) $
Senza scrivere tutti i passaggi risolutivi, sono arrivato a questo punto:
$ x^6-2x^5+2x^4-5x^3+2x^2-x+2=0 $
Adesso potrei far scendere di grado l'equazione mediante Ruffini, ok
ma si tratta di molti passaggi e quindi mi chiedevo se esiste un modo alternativo piu' sbrigativo per risolverla!
Il risultato dell'esercizio è:
$ root(3)(2) $
$ x^2(x^2+1)+(x)/(x-1)=(x(3x^2+1)-2)/(x^2-1) $
Senza scrivere tutti i passaggi risolutivi, sono arrivato a questo punto:
$ x^6-2x^5+2x^4-5x^3+2x^2-x+2=0 $
Adesso potrei far scendere di grado l'equazione mediante Ruffini, ok
ma si tratta di molti passaggi e quindi mi chiedevo se esiste un modo alternativo piu' sbrigativo per risolverla! Il risultato dell'esercizio è:
$ root(3)(2) $
Risposte
Risolverei così l'equazione
$x^2(x^2+1)+(x)/(x-1)=(x(3x^2+1)-2)/(x^2-1)$ .
Intanto, ponendo i denominatori diversi da $0$, si ottiene che deve essere $x!=+-1$.
Poi
$x^2(x^2+1)(x^2-1)+x(x+1)=x(3x^2+1)-2$
$x^2(x^4-1)+x^2 + x=3x^3+x-2$
$x^6-x^2+x^2 + x=3x^3+x-2$
$x^6-3x^3+2=0$
$(x^3-1)(x^3-2)=0$.
Da cui
$x^3-1=0->x^3=1->x=1$ non accettabile,
$x^3-2=0->x=root(2)(2)$.
$x^2(x^2+1)+(x)/(x-1)=(x(3x^2+1)-2)/(x^2-1)$ .
Intanto, ponendo i denominatori diversi da $0$, si ottiene che deve essere $x!=+-1$.
Poi
$x^2(x^2+1)(x^2-1)+x(x+1)=x(3x^2+1)-2$
$x^2(x^4-1)+x^2 + x=3x^3+x-2$
$x^6-x^2+x^2 + x=3x^3+x-2$
$x^6-3x^3+2=0$
$(x^3-1)(x^3-2)=0$.
Da cui
$x^3-1=0->x^3=1->x=1$ non accettabile,
$x^3-2=0->x=root(2)(2)$.
"chiaraotta":
Da cui
$x^3-1=0->x^3=1->x=1$ non accettabile,
$x^3-2=0->x=root(2)(2)$.
Scusami chiarotta, sono più che sicuro che è un errore di battitura
, ma $x^3-2=0->x=root(3)(2)$ 
Ovviamente il non accettabile è riferito alle $ C.E. $ cioè $ x-1 != 0=>x != 1 $ e $ x^2-1 != 0=>x^2 != 1=> x !=+-1 $
Vanno bene le $ C.E. $
Ti ringrazio della correzione. Sì certo, era $x^3-2=0->x=root(3)(2)$.
$x=1$ non è accettabile, perché è stato escluso dal $CE$, in quanto annullava i denominatori.
$x=1$ non è accettabile, perché è stato escluso dal $CE$, in quanto annullava i denominatori.
"chiaraotta":
Ti ringrazio della correzione. Sì certo, era $x^3-2=0->x=root(3)(2)$.
$x=1$ non è accettabile, perché è stato escluso dal $CE$, in quanto annullava i denominatori.
A dire il vero sono io che ti devo dire un oceano di grazie!
Ma quando in una equazione trinomia di sesto grado, es. $ x^6 +x^3+1$, ponendo $ x^3=y $ il risultato della $ y_1 $ verrà trattato come $ y_1=root(3)(x) $ ho notato che anche $ x^6=(y)^2 $ viene trattato come $ y_2=root(3)(x) $, vorrei comprendere meglio perchè non viene trattato come $ x^6=root(6)(y) $ Cioè perche non viene trattato come se è una radice sesta, invece di una radice terza?
Cioè perche non viene trattato come se è una radice sesta, invece di una radice terza?
In un'equazione di sesto grado come la tua poniamo per semplicità $x^3=t$ (cambio di variabile), ottenendo un'equazione di secondo grado in $t$, la quale se ha il $Delta>0$ ammette due soluzioni reali e distinte. Purtroppo a noi non interessano le soluzioni $t_1$ e $t_2$ allora dal cambio di partenza $x^3=t_1$ e $x^3=t_2$ otteniamo $x=(t_1)^(1/3)$ e $x=(t_2)^(1/3)$.
"anonymous_c5d2a1":
In un'equazione di sesto grado come la tua poniamo per semplicità $x^3=t$ (cambio di variabile), ottenendo un'equazione di secondo grado in $t$, la quale se ha il $Delta>0$ ammette due soluzioni reali e distinte. Purtroppo a noi non interessano le soluzioni $t_1$ e $t_2$ allora dal cambio di partenza $x^3=t_1$ e $x^3=t_2$ otteniamo $x=(t_1)^(1/3)$ e $x=(t_2)^(1/3)$.
Scusami ma ancora non mi è chiaro il concetto!
"Bad90":
... ponendo $ x^3=y $ il risultato della $ y_1 $ verrà trattato come $ y_1=root(3)(x) $ ho notato che anche $ x^6=(y)^2 $ viene trattato come $ y_2=root(3)(x) $ ...
Mi pare che tu stia facendo una gran confusione. Se hai posto $ x^3=y $, dopo aver ottenuto due risultati $y_1,y_2$ risolverai le due equazioni $ x^3=y_1 $ e $ x^3=y _2$, dalle quali ricavi $x=root(3)(y_1)$ e $x=root(3)(y_2)$ (tu hai scambiato fra loro $x,y$). La sostituzione non riguardava $x^6$ che quindi a questo punto non prendi nemmeno in considerazione; solo nei calcoli precedenti ti era servito sapere che $x^6=(x^3)^2=y^2$.
"giammaria":
La sostituzione non riguardava $x^6$ che quindi a questo punto non prendi nemmeno in considerazione; solo nei calcoli precedenti ti era servito sapere che $x^6=(x^3)^2=y^2$.
Quindi $x^6$ serve solo inizialmente ma non si prende più in considerazione, ok, ma il motivo per la quale non si prende più in considerazione, qual'è? Insomma detta così mi viene di credergli pienamente,
, ma se devo spiegare un concetto simile, credimi... non saprei cosa dire, riuscirei solo a dire che è così che si fà senza riuscire a giustificare il perchè 
Grazie giammaria!
Secondo me, è come se tu chiedessi per quale motivo usando un compasso non si prende in considerazione il fatto che Parigi è più a nord di Roma: proprio solo perché non c'entra.
Provo a spiegarti in concetto di sostituzione: per rendere più facile la tua equazione metti $y$ al posto di qualcosa che contiene $x$ e per fare questo ricorri a tutti gli artifici possibili. Ad esempio se la sostituzione è stata $y=2x^2-1$ e nel testo ci fosse $4x^4-4x^2+1$ potresti dire che quello è uguale a $(2x^2-1)^2=y^2$. Quando poi sai $y$ ti ricordi di cosa era $y$, cioè riprendi la sostituzione, mettendo al posto di $y$ il suo valore che ora sai.
Provo a spiegarti in concetto di sostituzione: per rendere più facile la tua equazione metti $y$ al posto di qualcosa che contiene $x$ e per fare questo ricorri a tutti gli artifici possibili. Ad esempio se la sostituzione è stata $y=2x^2-1$ e nel testo ci fosse $4x^4-4x^2+1$ potresti dire che quello è uguale a $(2x^2-1)^2=y^2$. Quando poi sai $y$ ti ricordi di cosa era $y$, cioè riprendi la sostituzione, mettendo al posto di $y$ il suo valore che ora sai.
"giammaria":
Secondo me, è come se tu chiedessi per quale motivo usando un compasso non si prende in considerazione il fatto che Parigi è più a nord di Roma: proprio solo perché non c'entra.
Provo a spiegarti in concetto di sostituzione: per rendere più facile la tua equazione metti $y$ al posto di qualcosa che contiene $x$ e per fare questo ricorri a tutti gli artifici possibili. Ad esempio se la sostituzione è stata $y=2x^2-1$ e nel testo ci fosse $4x^4-4x^2+1$ potresti dire che quello è uguale a $(2x^2-1)^2=y^2$. Quando poi sai $y$ ti ricordi di cosa era $y$, cioè riprendi la sostituzione, mettendo al posto di $y$ il suo valore che ora sai.
Perfetto, era solo la confusione iniziale degli esercizi! Grazie mille!
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