Equazione trigonometrica

[geovito]

salve,
scusate la mia ignoranza ma non riesco a risolvere la seguente eq. trigonometrica simmetrica:
cos 2x/(cosx-senx) + 2(senxcosx-1/4)=sqr3
i risultati sono x= (pi greco)/6+2kpi e (pigreca)/3+2kpi
mi aiutate
grazie

[_nicola de rosa]

"vitus":salve,
scusate la mia ignoranza ma non riesco a risolvere la seguente eq. trigonometrica simmetrica:
cos 2x/(cosx-senx) + 2(senxcosx-1/4)=sqr3
i risultati sono x= (pi greco)/6+2kpi e (pigreca)/3+2kpi
mi aiutate
grazie

$(cos2x)/(cosx-sinx)+2(sinxcosx-1/4)=sqrt3$ è questa?

[geovito]

si è questa

[_nicola de rosa]

"vitus":si è questa

innanzitutto $cos2x=cos^2x-sin^2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)$ quindi puoi eliminare qualcosina. poi prosegui tu, se non ci riesci posta

[geovito]

grazie nicola,
ma ho già provato ad operare quella sostituzione e semplificare, è più avanti (dopo aver effettuato le sostituzioni pe le eq simmetriche che non riesco a procedere).
cmq grazie

[laura.todisco]

"vitus":grazie nicola,
ma ho già provato ad operare quella sostituzione e semplificare, è più avanti (dopo aver effettuato le sostituzioni pe le eq simmetriche che non riesco a procedere).
cmq grazie

Dici bene, è un'equazione simmetrica. Quindi devi effettuare la sostituzione $x=pi/4+z$ da cui ti ricavi che:
$sinx+cosx=sqrt2cosz$
$sinxcosx=1/2(cos^2z-sin^2z)$

Otterrai un'equazione esprimibile in una sola funzione goniometrica.

[_nicola de rosa]

"vitus":grazie nicola,
ma ho già provato ad operare quella sostituzione e semplificare, è più avanti (dopo aver effettuato le sostituzioni pe le eq simmetriche che non riesco a procedere).
cmq grazie

hai con la semplificazione che $sinx+cosx+2sinxcosx-1/2=sqrt3$
Ora fai la sostituzione $t=tg(x/2)$ e ricordando che $sinx=(2t)/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2)$ risolvi una equazione biquadratica in $t$ e poi trovi $x$ tramite la relazione $tg(x/2)=t$

[geovito]

ok!
ora fila
grazie mille a nicola e laura
ciao

Ne ho un'altra un pò rognosa:
cos x - (radice quarta (cosx)^3) -2(sqr(cosx) - rad quarta(cosx)) =0
il risultato è
x=(pi greca)/2 +2kpi x=2kpi
help me
e grazieeeeeeee

[_nicola de rosa]

"vitus":ok!
ora fila
grazie mille a nicola e laura
ciao

Ne ho un'altra un pò rognosa:
cos x - (radice quarta (cosx)^3) -2(sqr(cosx) - rad quarta(cosx)) =0
il risultato è
x=(pi greca)/2 +2kpi x=2kpi
help me
e grazieeeeeeee

per cortesia riesci a scriverla meglio? grazie

[geovito]

provo a scriverla un pò più comprensibilmente:
$cos x - [rad quarta (cosx)^3] - 2[sqrt(cosx) - rad quarta (cosx) =0$

[_nicola de rosa]

"vitus":provo a scriverla un pò più comprensibilmente:
$cos x - [rad quarta (cosx)^3] - 2[sqrt(cosx) - rad quarta (cosx) =0$

$cosx-root(4)(cos^3x)-2(sqrt(cosx)-root(4)(cosx))=0$
Innanzitutto una equazione del genere ha senso se e solo se $cosx>=0$. poi la puoi riscrivere così:
$(cosx-root(4)(cos^3x))-2/(sqrt(cosx))*(cosx-root(4)(cos^3x))=0->(cosx-root(4)(cos^3x))*(1-2/(sqrt(cosx)))=0->cosx-root(4)(cos^3x)=0,1-2/(sqrt(cosx))=0$

Ora $cosx-root(4)(cos^3x)=0$ ed elevando alla quarta potenza si ha $cos^4x-cos^3x=cos^3x(cosx-1)=0->cosx=0,cosx=1$
Ora $cosx=0->x=pi/2+2kpi, k in Z$ e $cosx=1->x=2kpi, k in Z$.

Vediamo l'altra :$1-2/(sqrt(cosx))=0$ e questa equazione $1-2/(sqrt(cosx))$ non è mai soddisfatta: infatti $0=2->1-2/(sqrt(cosx))<0 AA x : 0 In conclusione le soluzioni sono $x=pi/2+2kpi,x=2kpi, k in Z$

[DarkAngel1]

scusate ragazzi, che cos'é un' equazione simmetrica e da cosa la si riconosce?
il metodo x risolverla é sempre quello di fare quel cambiamento di variabile descritto da Laura?
potreste spiegarmelo voi? su google non ho trovato nulla

[_nicola de rosa]

"DarkAngel":scusate ragazzi, che cos'é un' equazione simmetrica e da cosa la si riconosce?
il metodo x risolverla é sempre quello di fare quel cambiamento di variabile descritto da Laura?
potreste spiegarmelo voi? su google non ho trovato nulla

un equazione simmetrica in seno e coseno è una equazione per cui scambiando seno e coseno l'equazione rimane invariata. cioè sono quelle equazioni che possono essere scritte nella forma $P(sinx,cosx)=0$ dove $P$ è un polinomio simmetrico cioè tale che $P(sinx,cosx)=P(cosx,sinx)=0$.

Esse si risolvono con la sostituzione $x=pi/4+z$ da cui
$sinx=sin(pi/4+z)=sin(pi/4)cosz+cos(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz+sinz)$
$cosx=cos(pi/4+z)=cos(pi/4)cosz-sin(pi/4)sinz=(sqrt2)/2(cosz-sinz)$ da cui
$sinx+cosx=sqrt2*cosz$
$sinxcosx=1/2(cos^2z-sin^2z)=1/2(2cos^2z-1)=cos^2z-1/2$