Equazione trigoniometrica di primo grado

[first100]

Salve a tutti

\(\displaystyle tg(45°+x)cotg(x)=2{\sqrt{3}}+3 \)
Il risultato dovbrebbe essere : 15°+K180° e 30°+K180°

Con questa equazione arrivo dopo pochi passaggi a :

\(\displaystyle tg(45+x)/x=2{\sqrt{3}}+3 \)

da cui ottengo un risultato diverso da quello del libro , ha sbagliato il libro?

Grazie per le risposte

[minomic]

Ciao,

"first100":ha sbagliato il libro?

no il risultato del libro è corretto e te ne accorgi subito provando a sostituire $15^{\circ}$ alla $x$.
Prova a postare i calcoli.

[first100]

\(\displaystyle \frac{tg(45+x)*1}{tg(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

ora non so se questo passaggio è lecito:

\(\displaystyle \tan \frac{(45+x)*1}{(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

da qui pongo y=argomento della tangente

ed ho \(\displaystyle \tan y=2*\sqrt{3}+3 \)

da cui y=81° e vado a sostuire nell'equazione del cambio di variabile

[burm87]

Non credo quel passaggio sia lecito.
Io proverei ad esprimere le due tangenti come $(sin(45°+x))/(cos(45°+x))$ e $(sinx)/(cosx)$ e applicherei le formule di addizione.

[minomic]

"first100":\(\displaystyle \frac{tg(45+x)*1}{tg(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

ora non so se questo passaggio è lecito:

\(\displaystyle \tan \frac{(45+x)*1}{(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

No, questa regola non esiste.
Esiste un'apposita formula di somma per la tangente:$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
$$Quindi$$
\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot \frac{1}{\tan x} = 2\sqrt{3}+3
$$Puoi proseguire moltiplicando tutto per $[(1-\tan x)\tan x]$ dopo aver posto alcune condizioni.

[first100]

"minomic":[quote="first100"]\(\displaystyle \frac{tg(45+x)*1}{tg(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

ora non so se questo passaggio è lecito:

\(\displaystyle \tan \frac{(45+x)*1}{(x)}=2*\sqrt{3}+3 \)

No, questa regola non esiste.
Esiste un'apposita formula di somma per la tangente:$$
\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
$$Quindi$$
\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\cdot \frac{1}{\tan x} = 2\sqrt{3}+3
$$Puoi proseguire moltiplicando tutto per $[(1-\tan x)\tan x]$ dopo aver posto alcune condizioni.[/quote]

da qui ottengo :
\(\displaystyle tanx(1-tan^2x)=2*\sqrt{3}+3 \)

uhmmm e adesso?

[burm87]

Fai una sostituzine ponendo per esempio $tgx=t$ e risolvi l'equazione di secondo grado.

[minomic]

No, perchè ti viene fuori quella roba? $$
1+\tan x = (2\sqrt{3} + 3)\tan x - (2\sqrt{3} + 3)\tan^2{x}
$$Da qui raccogli e ottieni un'equazione di secondo grado in $\tan x$.

[first100]

Giusto avevo fatto il mcm invece della moltiplicazione !

[minomic]

"first100":Giusto avevo fatto il mcm invece della moltiplicazione !

Adesso ti risulta?

[first100]

il delta mi esce 4 tutta la soluzione è un pò piena di radicali

[minomic]

"first100":il delta mi esce 4 tutta la soluzione è un pò piena di radicali

Dovrebbe venire così:$$
(2\sqrt{3}+3)\tan^2 x - (2\sqrt{3}+2)\tan x + 1= 0$$$$
\tan x_{1, 2} = \frac{\sqrt{3}+1 \pm \sqrt{3+1+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3}}{2\sqrt{3}+3}=\frac{\sqrt{3}+1 \pm 1}{2\sqrt{3}+3}
$$Da cui si ricava $x = 15^{\circ} \vee x = 30^{\circ}$.

[first100]

Si , ora mi esce, un grazie elevato al quadrato!

[minomic]

"first100":Si , ora mi esce, un grazie elevato al quadrato!

Prego!