Equazione trascendente
Ragazzi sapete come si risolve questo tipo di equazioni???
$e^(2x)+6e^x-16=0$
potete spiegarmelo?
$e^(2x)+6e^x-16=0$
potete spiegarmelo?
Risposte
poni $e^x=t$ e risolvi l'equazione di secondo grado in t $t^2+6t-16=0$ e ti viene t=2 oppure t=-8
torni in $e^x=t$ quindi hai due equazioni
$e^x=2$ oppure $e^x=-8$
$e^x$ non puoi mai essere -8, per cui da quell'equazione non ricavi nessuna soluzione
$e^x$ è invece 2 se $x=ln2$
torni in $e^x=t$ quindi hai due equazioni
$e^x=2$ oppure $e^x=-8$
$e^x$ non puoi mai essere -8, per cui da quell'equazione non ricavi nessuna soluzione
$e^x$ è invece 2 se $x=ln2$
Basta osservare che $e^(2x)=(e^x)^2$ e eseguire una sostituzione ponendo $e^x=t$.
Quindi ottieni un'equazione di 2° grado in $t$:
$t^2+6t-16=0$
e la risolvi. Poi torni alla sostituzione e trovi x.
Quindi ottieni un'equazione di 2° grado in $t$:
$t^2+6t-16=0$
e la risolvi. Poi torni alla sostituzione e trovi x.
ragazzi invece sapete dirmi come si trova la periodicità di una funzione goniometrica??
La funzione $f(x)$ ha periodo $ T $ se, per ogni x si ha :$ f(x+T) = f(x) $.
...e T deve essere il più piccolo per cui è vera la proprietà.
quindi? si puo riportare un esempio piu o meno complesso? cosi posso capire meglio
scusate della mia ignoranza
scusate della mia ignoranza
$ sin(x) = sin(x + 2 pi)$ $ sin(x) = sin(x + 4 pi)$ $ sin(x) = sin(x + 6 pi)
e via dicendo per tutti i numeri pari
se non sbaglio...
e via dicendo per tutti i numeri pari
se non sbaglio...
"Camillo":
La funzione $f(x)$ ha periodo $ T $ se, per ogni x si ha :$ f(x+T) = f(x) $.
Occorre però ipotizzare anche che $x+T in "dom"f$ !
"laura.todisco":
...e T deve essere il più piccolo per cui è vera la proprietà.
Giusto !
va anche ricordato che quando si parla di periodo usualmente si assume che $T$ sia positivo...
provo a ricomporre il mosaico
Definizione Sia data una funzione reale di variabile reale $f:RR -> RR$. Si dice che un numero reale positivo $T$ è un periodo per la funzione $f$ se:
$f(x+T) = f(x)$ per ogni $x \in RR$
Se un tale numero reale positivo esiste, allora la funzione si dice periodica.
Nota 1 Se la funzione non è definita su tutto $RR$ (ad esempio la "tangente") occorre precisare la definizione così:
Sia data una funzione reale di variabile reale $f: A -> RR$, dove $A$ è un sottoinsieme non vuoto di $RR$. Si dice che un numero reale positivo $T$ è un periodo per la funzione $f$ se:
$x+T \in A$ per ogni $x \in A$
$f(x+T) = f(x)$ per ogni $x \in RR$
Nota 1bis Il periodo, come definito nella Nota 1, è "unilaterale". Ad esempio, una funzione definita su $[0,+oo[$ può essere periodica ma non lo può essere una funzione definita su $]-oo,0]$. Volendo un periodo "bilaterale" si può richiedere che sia anche:
$x-T \in A$ per ogni $x \in A$
Teorema Sia data una funzione reale di variabile reale $f:RR -> RR$, periodica. Supponiamo sia continua e non costante. Allora la funzione $f$ ammette un periodo minimo positivo.
Dimostrazione (sketch)
Sia $E$ l'insieme dei $T > 0$ che sono periodi per $f$
Indichiamo con $T_0$ l'estremo inferiore di $E$.
Se appartiene ad $E$ è un periodo e abbiamo finito...
Se non appartiene ad $E$, allora esiste una successione $T_k$ di periodi per $f$ t.c. $T_k -> T_0$.
Allora, per ogni $x \in RR$ e per ogni $k \in NN$: $f(x) = f(x+T_k)$
Passando al limite per $k -> oo$, grazie alla continuità di $f$ ottentiamo che $f(x) = f(x+T_0)$
Quindi $T_0$ è lui stesso un periodo (ed è ovviamente il minimo)
QED
Nota 2 Se una funzione è costante allora ogni numero reale positivo è un suo periodo e quindi non esiste il periodo minimo
Nota 3 Quando si parla del periodo, di solito ci si riferisce al periodo minimo. Salvo precisazione. Ad esempio, si dice che le funzioni $sen$ e $cos$ sono periodiche di periodo $2 \pi$. Ma questo è, per l'appunto, il periodo minimo. Ogni suo multiplo è un periodo, come dice Diravan
@PoppoGBR
Metodi per trovare il periodo delle funzioni trigonometriche? Ci si arrabatta conoscendo i periodi di $sen$ $cos$ e $tg$. E ricordando che ad es $\cos(2x)$ è periodica di periodo $\pi$ mentre ad esempio $\cos(x/3)$ è periodica di periodo $6 \pi$
s.e.o.
NB: le omissioni c'erano, e Camillo se ne è accorto (grazie). Rispetto alla versione iniziale, ho aggiunto la condizione che $f$ sia periodica, nel teorema.
NB: ho poi anche aggiunto la Nota 1bis
NB: ho anche aggiunto, a grande richiesta
, la dim del teorema
provo a ricomporre il mosaico
Definizione Sia data una funzione reale di variabile reale $f:RR -> RR$. Si dice che un numero reale positivo $T$ è un periodo per la funzione $f$ se:
$f(x+T) = f(x)$ per ogni $x \in RR$
Se un tale numero reale positivo esiste, allora la funzione si dice periodica.
Nota 1 Se la funzione non è definita su tutto $RR$ (ad esempio la "tangente") occorre precisare la definizione così:
Sia data una funzione reale di variabile reale $f: A -> RR$, dove $A$ è un sottoinsieme non vuoto di $RR$. Si dice che un numero reale positivo $T$ è un periodo per la funzione $f$ se:
$x+T \in A$ per ogni $x \in A$
$f(x+T) = f(x)$ per ogni $x \in RR$
Nota 1bis Il periodo, come definito nella Nota 1, è "unilaterale". Ad esempio, una funzione definita su $[0,+oo[$ può essere periodica ma non lo può essere una funzione definita su $]-oo,0]$. Volendo un periodo "bilaterale" si può richiedere che sia anche:
$x-T \in A$ per ogni $x \in A$
Teorema Sia data una funzione reale di variabile reale $f:RR -> RR$, periodica. Supponiamo sia continua e non costante. Allora la funzione $f$ ammette un periodo minimo positivo.
Dimostrazione (sketch)
Sia $E$ l'insieme dei $T > 0$ che sono periodi per $f$
Indichiamo con $T_0$ l'estremo inferiore di $E$.
Se appartiene ad $E$ è un periodo e abbiamo finito...
Se non appartiene ad $E$, allora esiste una successione $T_k$ di periodi per $f$ t.c. $T_k -> T_0$.
Allora, per ogni $x \in RR$ e per ogni $k \in NN$: $f(x) = f(x+T_k)$
Passando al limite per $k -> oo$, grazie alla continuità di $f$ ottentiamo che $f(x) = f(x+T_0)$
Quindi $T_0$ è lui stesso un periodo (ed è ovviamente il minimo)
QED
Nota 2 Se una funzione è costante allora ogni numero reale positivo è un suo periodo e quindi non esiste il periodo minimo
Nota 3 Quando si parla del periodo, di solito ci si riferisce al periodo minimo. Salvo precisazione. Ad esempio, si dice che le funzioni $sen$ e $cos$ sono periodiche di periodo $2 \pi$. Ma questo è, per l'appunto, il periodo minimo. Ogni suo multiplo è un periodo, come dice Diravan
@PoppoGBR
Metodi per trovare il periodo delle funzioni trigonometriche? Ci si arrabatta conoscendo i periodi di $sen$ $cos$ e $tg$. E ricordando che ad es $\cos(2x)$ è periodica di periodo $\pi$ mentre ad esempio $\cos(x/3)$ è periodica di periodo $6 \pi$
s.e.o.
NB: le omissioni c'erano, e Camillo se ne è accorto (grazie). Rispetto alla versione iniziale, ho aggiunto la condizione che $f$ sia periodica, nel teorema.
NB: ho poi anche aggiunto la Nota 1bis
NB: ho anche aggiunto, a grande richiesta
, la dim del teorema
"fireball":
[quote="Camillo"]La funzione $f(x)$ ha periodo $ T $ se, per ogni x si ha :$ f(x+T) = f(x) $.
Occorre però ipotizzare anche che $x+T in "dom"f$ ![/quote]
Avete postato a distanza talmente ravvicinata tutti quanti che probabilmente
nessuno si è accorto di questo post.
io me ne sono accorto (vedi Nota 1)
tu non ti sei accorto che me ne ero accorto...
tu non ti sei accorto che me ne ero accorto...
Mi sfugge il significato del Teorema : sia ad esempio $f(x) = x $ continua e non costante : allora ammette periodo minimo : $ T = 0 $??
"Fioravante Patrone":
io me ne sono accorto (vedi Nota 1)
tu non ti sei accorto che me ne ero accorto...
Sì la nota 1 l'avevo letta, ma dall'accuratezza del post
e da alcune parole in grassetto sembrava un messaggio
già preparato in precedenza, prima che postassi io... Va beh poco importa.
"Camillo":
Mi sfugge il significato del Teorema : sia ad esempio $f(x) = x $ continua e non costante : allora ammette periodo minimo : $ T = 0 $??
no, mi ero dimenticato di dire che la $f$ è periodica...
ora correggo
grazie!
"Fioravante Patrone":
Teorema Sia data una funzione reale di variabile reale $f:RR -> RR$, periodica. Supponiamo sia continua e non costante. Allora la funzione $f$ ammette un periodo minimo positivo.
Come può lo statement sopra indicato meritarsi l'appellativo di Teorema ? Se la funzione è periodica, sarà dotata di periodo, su questo non ci piove....e ne esisterà uno minimo e positivo .. ok
Son curioso della dimostrazione
il risultato interessante, quello per cui serve la ipotesi di continuità, è l'esistenza di un periodo minimo
a priori, potrebbe esserci l'inf dei periodi ma non il minimo
e questo può avvenire se la funzione non è continua (esempio, la funzione di Dirichlet ha come periodo ogni numero razionale positivo, e quindi l'inf dell'insieme dei suoi periodi è zero)
uno schizzo della dim l'ho aggiunto al "mega-post"...
ciao
a priori, potrebbe esserci l'inf dei periodi ma non il minimo
e questo può avvenire se la funzione non è continua (esempio, la funzione di Dirichlet ha come periodo ogni numero razionale positivo, e quindi l'inf dell'insieme dei suoi periodi è zero)
uno schizzo della dim l'ho aggiunto al "mega-post"...
ciao
Grazie, interessante...
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