Equazione retta che passa per punto e forma angolo con semiretta positiva ascisse

[caffeinaplus]

Salve a tutti tra una serie di esercizi mi è stato proposto questo che non riesco a risolvere, la traccia in sintesi dice

Dato un punto P trova l'equazione della retta che passa per il punto e si incroci con il lato positivo dell'asse delle ascisse, in modo da formare un angolo $ alpha $

I primi sono riuscito a svolgerli, con questi dati sto avendo difficoltà: ( la soluzione è $ sqrt(3)x -y +2sqrt(3) + 3 = 0 $ )

$ P(-2;3) $ e $ alpha = 60° $

Ho provato a fare l'equazione che passa per i 2 punti ( $ \frac{sqrt(3)}{2} $ e $ \frac{1}{2} $ sarebbero seno e coseno dell'angolo $ \frac{pi}{3} $ )

$ \frac{y - 3}{ \frac{sqrt(3)}{2} -3} = \frac{x + 2}{ \frac{1}{2} +2 } $

Quindi svolgo :

$ \frac{y - 3}{ \frac{ sqrt(3) -6 }{2} } = \frac {x +2}{\frac{5}{2}} $

$ \frac{2y -6}{sqrt(3) -6} \frac{-2x -4}{5} = 0$

$ \frac{5(2y - 6) + (-2x -4)(sqrt(3) -6)}{5( sqrt(3) -6) } = 0 $

$ 10y -30 -2xsqrt(3) +12x -4sqrt(3) +24 = 0 $

$ 2xsqrt(3) -12x -10y +6 +4sqrt(3) $

Adesso semplifico per 2

$ sqrt(3)x -6x -5y +3 +2sqrt(3) $

E non mi si trova

Grazie a tutti in anticipo

[Berationalgetreal]

\[ \alpha = \frac{ \pi}{3} \implies m = \tan \alpha = {\sqrt{3}} \]

Quindi:

\[ r \ : \ y = m x + y_0 =\sqrt{3} x + y_0 \]

Imponendo il passaggio per \(P\):

\[ 3 = {\sqrt{3}} (-2) + y_0 \implies y_0 = {3+ 2\sqrt{3} } \]

Dunque:

\[ y= \sqrt{3} x + 3 + 2 \sqrt{3} \]

[caffeinaplus]

Grazie mille solo se non ti disturbo troppo,

"Berationalgetreal":
$ alpha = \frac{ \pi}{3} \implies m = \tan \alpha = sqrt{3} $

Non mi è chiaro perchè come $ m $ bisogna prendere la tangente di $ alpha $

[Berationalgetreal]

Perchè, detta \(d\) la distanza di un punto \((x,y) \) appartenente alla retta dal punto \((x_\star, y_\star)\) di intersezione di questa con l'asse delle ascisse:

\[x - x_\star = \Delta x = d \cos\alpha, \ y - y_\star = \Delta y = d \sin \alpha \implies m = \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \frac{\sin\alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \]

È una applicazione delle formule per i triangoli rettangoli.

[caffeinaplus]

Grazie mille