Equazione parabola (234250)

[Juliaever]

Ciao, qualcuno sa svolgere seguente esercizio? Scrivi l'equazione della parabola passante per i punti A(0;1), B(4;1) e avente il vertice sull'asse delle ascisse e determina l'equazione della tangente alla parabola in B indicando con C la sua intersezione con l'asse x. Scrivi l'equazione della circonferenza passante per i punti A, C e F, dove F è il fuoco della parabola. GRAZIE!

[Anthrax606]

Ciao!
Ti indico come svolgere l'esercizio. Iniziamo da Passaggio della parabola passante per due punti e avente vertice sull'asse delle ascisse. Verifichiamo il passaggio tra i due punti. Sappiamo che la parabola passa per

[math]A(0;1)[/math]

, quindi

[math]A \in parabola[/math]

:

[math]y=ax^2+bx+c \to 1=a0^2+b0+c \to c=1[/math]

. Inoltre passa per

[math]B(4;1) \to B \in parabola[/math]

, quindi:

[math]1=16a+4b+c[/math]

e infine l'ordinanza del vertice è 0 in quanto la parabola ha vertice sull'ascissa:

[math]-\frac{b^2-4ac}{4a}=0[/math]

.

=> Mettendo a sistema le tre equazioni, otterrai l'equazione della parabola.

A questo punto devi trovare l'equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto B. Il fatto che il punto B appartiene alla parabola, non ti mette nelle condizioni di dover capire se le tangenti sono due o ne è una sola. Pertanto, metti a sistema l'equazione della parabola e l'equazione della retta generica passante per il punto B:

[math]y-y_B=m(x-x_B) \to y-1=m(x-4) \to y=mx-4m+1[/math]

. Per confronto o sostituzione otterrai un'equazione di secondo grado in

[math]m[/math]

e poni

[math]∆=0[/math]

per la condizione di tangenza. A questo punto sostituisci

[math]m[/math]

nell'equazione generica della retta e ti trovi l'equazione della retta.

Per ricavare l'intersezione C con l'asse delle ascisse, devi porre all'equazione della retta generica

[math]y=0[/math]

, infine applichi le formule per il calcolo della circonferenza passante per tre punti.