Equazione numeri complessi (124168)

[insule23]

salve avrei dei problemi con lo svologimento di questo esercizio
si risolvi l'equazione nel campo dei numeri complessi:

[math]z^{3}=-2(z+i)^{3}[/math]

ho impostato in tal modo..
divido ambo i membri per

[math](z+i)^{3}[/math]

e ottengo

[math]\frac{z^{3}}{(z+i)^{3}}=-2\Rightarrow \left ( \frac{z}{z+i} \right )^{3}=-2[/math]

ora non sò come proseguire..
se mi potete aiutare..
grazie..

[ciampax]

Quello che hai fatto è una buona idea. Prima di fare tale passo, tuttavia, avresti dovuto imporre che

[math]z\not= -i[/math]

, che in ogni caso non sarà soluzione dell'equazione. A questo punto puoi porre

[math]w=\frac{z}{z+i}[/math]

e osservare che puoi scrivere

[math]-2=2\cdot(-1)=2(\cos\pi+i\sin\pi)[/math]

in forma trigonometrica. Detto ciò, l'equazione equivale alla seguente:

[math]w^3=2(\cos\pi+i\sin\pi)[/math]

la quale, attraverso la formula per il calcolo delle radici ennesime di un numero complesso, porta alle soluzioni seguenti

[math]w_k=\sqrt[3]{2}\left(\cos\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{3}\right),\qquad k=0,1,2[/math]

Esplicitamente si ha

[math]w_0=\sqrt[3]{2}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}(1+i\sqrt{3})\\ w_1=\sqrt[3]{2}\left(-1+i0\right)=-\sqrt[3]{2}\\ w_2=\sqrt[3]{2}\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}(1-i\sqrt{3})[/math]

Puoi osservare che

[math]w_2=\bar{w_0}[/math]

. Fatto questo, per trovare le soluzioni in termini di

[math]z[/math]

basta osservare che

[math]\frac{z}{z+i}=w\ \Rightarrow\ z=zw+iw\ \Rightarrow\ z=\frac{iw}{1-w}[/math]

e pertanto basta sostituire i valori trovati in precedenza per determinare le tre soluzioni per

[math]z[/math]