Equazione numeri complessi
Buonasera a tutti. Ho un problema nel risolvere la seguente equazione nel campo complesso:
$|z^{2}+1|=z\cdot z^{2}$
Il mio procedimento è: pongo $z=x+iy$ e sostituisco all'interno dell'equazione precedente, ottenendo:
$|(x+iy)^{2}+1|=(x+iy)^{3}$ e da qui sviluppo i calcoli, cioè
$\sqrt{(x^{2}-y^{2}+1)^{2}+4x^{2}y^{2}}=x^{3}-3xy^{2}-i(y^{3}-3x^{2}y)$.
Da qui poi pongo uguali a zero la parte reale e la parte immaginaria rispettivamente ma non ottengo il risultato che dovrebbe essere $1/2\pmi\sqrt{3}/2$
Sbaglio i calcoli o c'è un errore di fonod nel procedimento?
Vi ringrazio per l'attenzione ed eventuali suggerimenti
Ciao
$|z^{2}+1|=z\cdot z^{2}$
Il mio procedimento è: pongo $z=x+iy$ e sostituisco all'interno dell'equazione precedente, ottenendo:
$|(x+iy)^{2}+1|=(x+iy)^{3}$ e da qui sviluppo i calcoli, cioè
$\sqrt{(x^{2}-y^{2}+1)^{2}+4x^{2}y^{2}}=x^{3}-3xy^{2}-i(y^{3}-3x^{2}y)$.
Da qui poi pongo uguali a zero la parte reale e la parte immaginaria rispettivamente ma non ottengo il risultato che dovrebbe essere $1/2\pmi\sqrt{3}/2$
Sbaglio i calcoli o c'è un errore di fonod nel procedimento?
Vi ringrazio per l'attenzione ed eventuali suggerimenti
Ciao
Risposte
C'è qualcosa di sbagliato: sostituendo la soluzione data nell'equazione, il secondo membro diventa
$(1/2+-isqrt3/2)^3=...=-1$
e non può essere uguale al primo membro, che è un reale positivo o nullo.
$(1/2+-isqrt3/2)^3=...=-1$
e non può essere uguale al primo membro, che è un reale positivo o nullo.
Grazie!. Si effettivamente sostituendo la soluzione a secondo membro si ottiene una contraddizione. Ho però ricontrollato il testo dell'esercizio ed è esattamente come l'ho riportato.
Devo quindi pensare che ci sia un errore nel testo?
Grazie
Devo quindi pensare che ci sia un errore nel testo?
Grazie
Sì, anzi ci sono due errori: uno è che le soluzioni dovrebbero essere $-(1/2+-isqrt3/2)$ e l'altro è che c'è anche una soluzione puramente reale, che vale circa $1,5$. Ti spiego il mio ragionamento.
Il primo membro è reale, quindi deve esserlo anche il secondo e ne consegue che
$y^3-3x^2y=0" "->" "y=0" " vv" " y=+-xsqrt3$
Con $y=0$ si ha $z=x$ e $|z^2+1|=|x^2+1|=x^2+1$ e l'equazione diventa
$x^2+1=x^3$
che può essere risolta solo in modo approssimativo, ottenendo circa $1,5$
Con $y=+-xsqrt3$ si ha $z=x(1+-isqrt3)$ da cui ricavi $z^3=-8x^3$. L'equazione diventa
$|x^2(1+-isqrt3)^2+1|=-8x^3$
Ora continui con i calcoli (né brevi né lunghi); al momento di elevare al quadrato devi imporre la condizione che i due membri abbiano lo stesso segno e quindi sia $x<=0$. Arrivi a
$(4x^2-1)(16x^4+1)=0$
La seconda parentesi non si annulla in campo reale e quindi le uniche soluzioni sono $x=+-1/2$; in base alla condizione indicata bisogna scegliere quella col meno. Basta ora completare.
Credo che l'autore del tuo libro non si sia preoccupato della scelta del segno; in campo complesso capita raramente di doverlo fare. Più strano è che non abbia notato l'esistenza della soluzione puramente reale.
Il primo membro è reale, quindi deve esserlo anche il secondo e ne consegue che
$y^3-3x^2y=0" "->" "y=0" " vv" " y=+-xsqrt3$
Con $y=0$ si ha $z=x$ e $|z^2+1|=|x^2+1|=x^2+1$ e l'equazione diventa
$x^2+1=x^3$
che può essere risolta solo in modo approssimativo, ottenendo circa $1,5$
Con $y=+-xsqrt3$ si ha $z=x(1+-isqrt3)$ da cui ricavi $z^3=-8x^3$. L'equazione diventa
$|x^2(1+-isqrt3)^2+1|=-8x^3$
Ora continui con i calcoli (né brevi né lunghi); al momento di elevare al quadrato devi imporre la condizione che i due membri abbiano lo stesso segno e quindi sia $x<=0$. Arrivi a
$(4x^2-1)(16x^4+1)=0$
La seconda parentesi non si annulla in campo reale e quindi le uniche soluzioni sono $x=+-1/2$; in base alla condizione indicata bisogna scegliere quella col meno. Basta ora completare.
Credo che l'autore del tuo libro non si sia preoccupato della scelta del segno; in campo complesso capita raramente di doverlo fare. Più strano è che non abbia notato l'esistenza della soluzione puramente reale.
Grazie mille! Spiegazione davvero molto chiara!
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