Equazione nel campo dei complessi

[reanto91]

salve avrei bisogno del vostro aiuto...con questo esercizio..
Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione:

[math](z^2-| \bar{z} | -3 )=0[/math]

ho provato a risolverlo:
Essendo

[math]| \bar{z} |=x+iy[/math]

e

[math]z=x+iy[/math]

con il metodo della sostituzione ottengo:

[math](x^2-y^2-x-3)+i(2xy-y)=0[/math]

che pongo a sistema

[math]\begin{cases} x^2-y^2-x-3=0 \\ 2xy-y=0\end{cases}[/math]

è giusto??
mi potete aiutare grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

# reanto91 :
Essendo

[math]| \bar{z} |=x+iy[/math]

e

[math]z=x+iy[/math]

Dunque, secondo te,

[math]z=\left|\bar{z}\right|\\[/math]

?

L'idea risolutiva è corretta ma ponendo

[math]z:=x+i\,y[/math]

per

[math]x,\,y\in\mathbb{R}[/math]

si ha

[math]\left|\bar{z}\right| = \left|\overline{x+i\,y}\right|=\left|x+i\,(-y)\right|=\sqrt{x^2+(-y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}\,.\\[/math]

A questo punto, separa la parte reale da quella complessa come
hai fatto sopra e risolvi il sistema declinando i vari casi. :)

[reanto91]

ok.. ho provato come hai detto tu e mi risulta che:

[math]x^2+2ixy-y^2-\sqrt{x^2+y^2}-3=0[/math]

e che separando la parte reale da quella complessa
devo risolvere il seguente sistema

[math]\left\{\begin{matrix}
x^2-y^2-\sqrt{x^2+y^2}-3=0\\
2xy=0
\end{matrix}\right.
[/math]

è giusto??? come lo risolvo.. aiutatemi..grazie..

[rino6999]

come lo risolvo ?
scusa,ma tralasciando il 2 che è ininfluente,quando si ha xy=0 ?
ti dice niente "legge di annullamento del prodotto" ?

[reanto91]

ok.. quindi come hai detto l'equazione 2xy=0 ci dice che almeno uno tra x e y deve annullarsi..
nel primo caso:

[math]\left\{\begin{matrix}
-y^2-\sqrt{y^2}-3=0\\
x=0
\end{matrix}\right.[/math]

da questo sistema non si ottengono soluzioni;
allo stesso modo nel secondo caso:

[math]\left\{\begin{matrix}
-x^2-\sqrt{x^2}-3=0\\
y=0
\end{matrix}\right.[/math]

non si ottengono soluzioni...
quindi l'equazione di partenza non è verificata.. cioè non ha soluzioni reali...
è giusto??? fatemi sapere..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

# reanto91 :
nel primo caso:

[math]\left\{\begin{matrix}
-y^2-\sqrt{y^2}-3=0\\
x=0
\end{matrix}\right.[/math]

da questo sistema non si ottengono soluzioni

D'accordo.

# reanto91 :

[math]\left\{\begin{matrix}
-x^2-\sqrt{x^2}-3=0\\
y=0
\end{matrix}\right.[/math]

non si ottengono soluzioni...

Qui invece non sono d'accordo. Quel meno che precede

[math]x^2[/math]

da dove
sarebbe sbucato? Poi ti ricordo che

[math]\sqrt{x^2}=|x|\\[/math]

. Quindi... :)

P.S.: nel caso

[math]x=y=0[/math]

che succede?

[reanto91]

quel meno é un errore di battitura...
per il resto non sò come fare mi potete aiutare grazie..

Aggiunto più tardi:

quel meno é un errore di battitura...
per il resto non sò come fare mi potete aiutare grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ok, per l'errore di battitura succede. Però sull'equazione qualche
idea dovresti averla! Infatti, molto semplicemente, si ha

[math]x^2-|x|-3=0 \; \Leftrightarrow \; \begin{cases}x

[reanto91]

Allora per il primo sistema ho:

[math]\begin{cases}x< 0 \\ x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2} \end{cases}\\[/math]

mentre per il secondo:

[math]\begin{cases}x\ge 0 \\ x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2} \end{cases}\\[/math]

è giusto??? quindi quali sono le soluzioni..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Sì, è corretto, ma le soluzioni spetta a te determinarle ;)

[reanto91]

allora le soluzioni sono quindi:

[math]x=\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}[/math]

e

[math]x=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}[/math]

è corretto?? fammi sapere.. grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque le disequazioni a sistema le si scrivono per riempire la pagina?
Per cortesia, un minimo di ragionamento, eh...

[reanto91]

a scusa l'avevo dimenticate quindi le soluzioni sono solo due ovvero:

[math]x=\frac{-1- \sqrt{13}}{2}[/math]

e

[math]x=\frac{1+ \sqrt{13}}{2}[/math]

giusto???

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ah ecco!! Bene, esatto. :)