Equazione logaritmica e goniometrica

[trieb91]

Come risolvo quest'equazione?

ln(2sen^2x-sen2x)=0

Ho posto l'equazione tra parentesi uguale ad 1, ma a quel punto non so come procedere, ho applicato la formula di duplicazione a sen2x, provato a sostituire il primo seno con (1-cos^2x), ma in ogni caso non riesco a sbrogliare la situazione e a ricondurmi ad un equazione omogenea.

[@melia]

Ti conviene trasformare l'1 in $sin^2x+cos^2x$ in questo modo ottieni un'equazione omogenea di secondo grado che puoi risolvere in tangente, dividendo tutto per $cos^2x$

[trieb91]

Ho già provato in questo modo e ottengo come valori 1-rad(2) e 1+rad(2). Che faccio a quel punto visto che tra gli angoli notevoli per la tangente c'è solo rad(2)-1? Ho provato anche a porre -tan(x)=tg(-x) e quindi a quel punto 1-rad2 dovrebbe corrispondere a -Pi/8 ma il mio libro da come risultato 3/8pi+kpi/2

[@melia]

$tan x=1-sqrt2$ ammette come soluzione $x= -pi/8 +kpi$, mentre $tan x=1+sqrt2$ ha soluzione $x= 3/8 pi +kpi$, ma tra le due soluzioni trovate c'è un quarto di giro, cioè la distanza tra le soluzioni è $pi/2$, ovvero la metà del periodo che intercorre tra due successivi valori di $x$ compresi in ciascuna delle soluzioni, quindi si possono riassumere in una sola mettendo come periodo appunto $pi/2$. Puoi usare come soluzione $x= 3/8 pi +k pi/2$ oppure, che è lo stesso, $x= -pi/8 +k pi/2$.

[trieb91]

Scusami se ti disturbo ancora, ma è proprio la soluzione di 1+rad2 che non riesco a trovare, essendo che ne questa ne il suo opposto sono presenti nella tabella degli angoli notevoli. Come fai a sapere che questo valore corrisponde all'angolo 3/8pi+kpi?

[minomic]

Direi che si può fare con la calcolatrice. Altrimenti c'è qualcosa di complesso con le formule di bisezione della tangente ($3/8$ è la metà di $3/4$) ma non mi sembra il caso.

Comunque attendi risposta da @melia...

[@melia]

$sqrt2+1$ è il reciproco di $sqrt2-1$, perché il loro prodotto vale $1$, $(sqrt2+1)(sqrt2-1)=2-1=1$
e se $tan alpha = 1/ tan beta$ allora $alpha =pi/2 - beta$, infatti
$tan alpha = sin alpha/cos alpha= sin (pi/2 - beta)/cos(pi/2 - beta)=cos beta/sin beta=1/(sin beta/cosbeta)=1/ tan beta$
Perciò anche se nelle tabella hai solo $tan (pi/8) =sqrt2-1$ sai anche che $tan (3/8 pi) = tan (pi/2-pi/8) =1/(sqrt2 - 1)=sqrt2 +1$

[trieb91]

Ok grazie mille per la spiegazione