Equazione logaritmica

[Fuco_91]

per quanto probabilmente banale, quest'equazione mi sta mettendo in crisi:

$log_2 x + 3 = 2log_2(2-x)

$log_2 |x| + 3 = 2log_2|2-x|
$log_2 x+3 = log_2(2-x)^2
$log_2 x-log_2(2-x)^2 +3 = 0
$log_2 x/(2-x)^2 = -3

E qui mi blocco

[G.D.5]

Gli argomenti dei logaritmi portano i moduli o non portano i moduli?

[Fuco_91]

Hai ragione scusa, ho usato i moduli semplicemente per ricordarmi che gli argomenti dei logaritmi debbano essere positivi, probabilmente formalmente è sbagliato. Ad ogni modo si può omettere il secondo passaggio, mentre il primo è il reale testo.

[G.D.5]

Fino al punto in cui ti blocchi hai fatto bene. Adesso devi usare la definizione di logaritmo e poi risolvere.

[gcappellotto]

Per prima cosa bisogna stabilire quali valori di x possiamo accettare (il logaritmo nell'insieme dei reali è definito solo per numeri $ > 0$ quindi $x>0$ e $x<2$
Quindi puoi procedere così:
l$og_2x+3=2log_2(2-x)$
ricordando che $log_2 8 = 3$
$log_2x+log_2 8=log_2(2-x)^2$
$log_2 8x=log_2 (2-x)^2$
Quindi posso togliere i logaritmi:
$8x=(2-x)^2$
A questo punto puoi risolvere l'equazione, ma alla fine dovrai verificare se i risultati sono compatibili con le condizioni poste all'inizio.....
Mi auguro di non aver fatto degli errori
Ciao
Giovanni

[Fuco_91]

Grazie mille Wizard , l'ho terminata così:

$x/(2-x)^2 = 2^-3

$x/(2-x)^2 = 1/8

e dopo qualche calcolo:

$1/8x^2-3/2x+1/2 = 0

da cui si ottenevano le soluzioni

$x = 6+- 4sqrt2$ di cui solo $x = 6 - 4sqrt2$ era accettabile per via della condizione $x<2$

[Fuco_91]

"gcappellotto":ricordando che $log_2 8 = 3$

Questa era la via che avrei voluto seguire inizialmente, ma sarà per la mia testa ma non ce la facevo a trasformarlo xD. Effettivamente, in questo modo risulta molto più elegante e meno ostico da risolvere. Anche qui come soluzione ho ottenuto $x = 6 +- 4sqrt2$
Grazie