Equazione irrazionale diversa da zero [RISOLTO]
salve,
ho un problema nel risolvere questa disuguaglianza:
$ \ x-\sqrt{1-x}\ne 0 $
so che il risultato è \( \forall x \in \Re \) escluso $ (sqrt5-1)/2 $
Inizialmente ho provato a risolverla come se fosse un'equazione, in questo modo:
\( \begin{cases} x\geq 0 \\ 1-x\neq x^2 \end{cases} \)
tuttavia il risultato è sbagliato e dopo un po di ragionamento ho capito che in effetti le soluzioni che trovo seguendo questo procedimento non sono corrette ( tanto per cominciare l'espressione sembra verificata anche per numeri negativi, cosa che non viene fuori dal procedimento seguito).
la domanda è: qual'è il modo corretto di risolvere una espressione di quel tipo ?
Grazie in anticipo per le eventuali risposte
ho un problema nel risolvere questa disuguaglianza:
$ \ x-\sqrt{1-x}\ne 0 $
so che il risultato è \( \forall x \in \Re \) escluso $ (sqrt5-1)/2 $
Inizialmente ho provato a risolverla come se fosse un'equazione, in questo modo:
\( \begin{cases} x\geq 0 \\ 1-x\neq x^2 \end{cases} \)
tuttavia il risultato è sbagliato e dopo un po di ragionamento ho capito che in effetti le soluzioni che trovo seguendo questo procedimento non sono corrette ( tanto per cominciare l'espressione sembra verificata anche per numeri negativi, cosa che non viene fuori dal procedimento seguito).
la domanda è: qual'è il modo corretto di risolvere una espressione di quel tipo ?
Grazie in anticipo per le eventuali risposte
Risposte
Ciao, il tuo ragionamento era più o meno giusto: risolvi l'equazione $$x=\sqrt{1-x}$$ e poi prendi il complementare (rispetto a $RR$) della soluzione che trovi.
Incredibile, ora che mi hai fatto notare la soluzione mi chiedo come mai non l'abbia attutata prima. Ho capito che il sistema che ho imposto è sbagliato. Questo modo di procedere, cioè trovare il complementare dell'insieme delle soluzioni dell'equazione associata è sempre corretto in questo tipo di disuguaglianze ? Mi verrebbe da dire di si.
Direi proprio di sì, anche perché se una cosa non è vera allora è falsa. Trovando le soluzioni dell'equazione tu trovi quando è vera; facendo il complementare trovi quando è falsa.
Se ci pensi è proprio quello che fai quando trovi certi domini. Ad esempio prendi $$f(x) = \frac{1}{x-1}$$ Come fai a dire $D = RR - {1}$? Parti da $$x-1\ne 0$$ quindi risolvi l'equazione $$x-1 = 0 \quad\rightarrow\quad x=1$$ e infine fai il complementare: $$D = \mathbb{R}-\left\{ 1\right\}$$ perché se $1$ la rende vera allora ogni altro valore la rende falsa.
Se ci pensi è proprio quello che fai quando trovi certi domini. Ad esempio prendi $$f(x) = \frac{1}{x-1}$$ Come fai a dire $D = RR - {1}$? Parti da $$x-1\ne 0$$ quindi risolvi l'equazione $$x-1 = 0 \quad\rightarrow\quad x=1$$ e infine fai il complementare: $$D = \mathbb{R}-\left\{ 1\right\}$$ perché se $1$ la rende vera allora ogni altro valore la rende falsa.
Grazie mille, non solo mi hai aiutato a risolvere il problema in se ma sei riuscito anche chiarirmi i motivi per i quali sbagliavo. Ti ringrazio moltissimo. L'esempio è stato veramente utile.
Prego, sono felice di essere stato utile!
Per altri dubbi siamo qui.
Per altri dubbi siamo qui.
"ack6":
$ \ x-\sqrt{1-x}\ne 0 $
so che il risultato è \( \forall x \in \Re \) escluso $ (sqrt5-1)/2 $
Se il tuo libro dice questo, dice il falso: per $x>1$ il primo membro non ha significato e quindi non è né uguale né diverso da zero. Anche a quanto detto da minomic va aggiunto che occorre comunque che la radice esista.
"giammaria":
[quote="ack6"]$ \ x-\sqrt{1-x}\ne 0 $
so che il risultato è \( \forall x \in \Re \) escluso $ (sqrt5-1)/2 $
Se il tuo libro dice questo, dice il falso: per $x>1$ il primo membro non ha significato e quindi non è né uguale né diverso da zero. Anche a quanto detto da minomic va aggiunto che occorre comunque che la radice esista.[/quote]
Non ho capito la correzione... $ (sqrt5-1)/2 $ è minore di $1$.
Sì, questa parte è giusta. La mia correzione si riferiva a $AAx in RR$; la vera risposta è
$x<=1^^x!=(sqrt5-1)/2$
$x<=1^^x!=(sqrt5-1)/2$
Ah perfetto, tutto chiaro! Probabilmente il libro intendeva che se non esiste allora non è uguale a $0$. Però sono d'accordo con te: se non esiste la radice allora non ha senso parlarne.
@giammaria
preso dall'entusiasmo mi è sfuggito che la radice perde di significato se considero le $x>1$.
A questo punto voglio capire meglio.
Risolvo l'equazione:
$x=sqrt(1-x)$
impostando il seguente sistema:
${ ( x >=0 ),( 1-x=x^2 ):}$
trovo la soluzione, che è $x=(sqrt5-1)/(2)$
Se a questo punto prendo il complementare della soluzione trovata, sbaglio, poichè come giustamente dice giammaria deve anche esistere la radice, solo che pensavo che la condizione $1-x>=0$ fosse già inclusa nel sistema impostato, tra l'altro anche volendola aggiungere il risultato non cambia e cioè mi ritrovo sempre tutte le x tranne il valore trovato.
Mi chiedo: il procedimento esatto per non sbagliare quale sarebbe ?
preso dall'entusiasmo mi è sfuggito che la radice perde di significato se considero le $x>1$.
A questo punto voglio capire meglio.
Risolvo l'equazione:
$x=sqrt(1-x)$
impostando il seguente sistema:
${ ( x >=0 ),( 1-x=x^2 ):}$
trovo la soluzione, che è $x=(sqrt5-1)/(2)$
Se a questo punto prendo il complementare della soluzione trovata, sbaglio, poichè come giustamente dice giammaria deve anche esistere la radice, solo che pensavo che la condizione $1-x>=0$ fosse già inclusa nel sistema impostato, tra l'altro anche volendola aggiungere il risultato non cambia e cioè mi ritrovo sempre tutte le x tranne il valore trovato.
Mi chiedo: il procedimento esatto per non sbagliare quale sarebbe ?
Il metodo che indichi è proprio il procedimento esatto per risolvere l'equazione; hai anche ragione nel dire che la condizione $1-x>=0$ è già inclusa nel sistema impostato. In presenza del segno $!=$ si risolve la corrispondente equazione e poi si fa il seguente ragionamento: se tutto esiste e non vale l'uguale, allora vale il diverso.
Forse sarebbe possibile anche l'uso di altri metodi più rapidi, ma capita così di rado che non vale la pena di cercarli e studiarli.
Forse sarebbe possibile anche l'uso di altri metodi più rapidi, ma capita così di rado che non vale la pena di cercarli e studiarli.
ho letto e riletto il ragionamento che mi hai indicato, ecco cosa ho capito:
l'insieme delle soluzioni di $x-sqrt(1-x)=0$ è composto di un solo punto, cioè $x = (sqrt5-1)/2$.
Ora il ragionamento da fare è: l'epressione è vera per quel unico punto in R; fin qui nessun dubbio.
domanda: quando non è vera ?
risposta: per il complementare in R dell'insieme delle soluzioni trovate.Cioè tutti quei valori che rendono falsa l'espressione.
domanda: ma come faccio a trovare questo complementare ?
risposta: devo garantire l'esistenza della radice ( perchè sono in R); quindi prendi si il complementare ma lo metti a sistema con la condizione di esistenza della radice, altrimenti rischio di prendere soluzioni nel campo complesso, che però non mi interessano.
Ho capito bene ?
l'insieme delle soluzioni di $x-sqrt(1-x)=0$ è composto di un solo punto, cioè $x = (sqrt5-1)/2$.
Ora il ragionamento da fare è: l'epressione è vera per quel unico punto in R; fin qui nessun dubbio.
domanda: quando non è vera ?
risposta: per il complementare in R dell'insieme delle soluzioni trovate.Cioè tutti quei valori che rendono falsa l'espressione.
domanda: ma come faccio a trovare questo complementare ?
risposta: devo garantire l'esistenza della radice ( perchè sono in R); quindi prendi si il complementare ma lo metti a sistema con la condizione di esistenza della radice, altrimenti rischio di prendere soluzioni nel campo complesso, che però non mi interessano.
Ho capito bene ?
Sì, hai capito bene.
Ti ringrazio molto, a questo punto il problema è risolto, spero che questa discussione possa servire ad altri.
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