Equazione irrazionale con parametri

[vanpic]

Buongiorno, ho la seguente equazione:

$2sqrt(x+a^2-b)-sqrt(x-b)=2a$

che ho provato ha risolvere, ma non sono sicuro di averlo fatto correttamente.
Visto che non ho alcuna informazione sui parametri $a$ e $b$, invece di porre condizioni iniziali sulla validità delle radici e condizioni prima di elevare al quadrato, ( disequazioni che non potrei risolvere credo),
ho trovato le soluzioni $x_1,x_2$ e poi le ho sostituite all'equazione di partenza per verificarne la validità.
Ossia ho trovato: $x_1=b$ che sostituito:

$2sqrt(b+a^2-b)-sqrt(b-b)=2a$

$2sqrt(a^2)=2a$

$|a|=a $ , vero se $a>=0$

Poi $x_2=(9b+16a^2)/9$ che sostituito mi porta alla stessa eguaglianza $|a|=a $ , vero se $a>=0$.
Quindi direi che entrambe le soluzioni sono accettabili alla condizione $a>=0$.
Ho risolto in modo corretto secondo voi ? Grazie .

[wall87]

Non sono un esperto ma provo a ragionare con te; e siccome ho un po di tempo e mi voglio fare un po di conti ci provo;
per prima cosa pongo le condizioni di realtà, per cui data:

$2sqrt(x+a^2-b)-sqrt(x-b)=2a$

pongo:

$x+a^2-b>=0 rightarrow x>=b-a^2$
$x-b>=0 rightarrow x>=b$

ora trasporto i termini in modo da averli tutti positivi e successivamente elevo al quadrato:

$2sqrt(x+a^2-b)=2a+sqrt(x-b) rightarrow (2sqrt(x+a^2-b))^2=(2a+sqrt(x-b))^2$

$4x+4a^2-4b=4a^2+4asqrt(x-b)+x-b$

$3x-3b=4asqrt(x-b) $

$4asqrt(x-b)=3x-3b$

arrivati qui mi trovo un'altra radice, per cui pongo una nuova condizione di realtà:

$x-b>=0 rightarrow x>=b$

una forma di questo tipo equivale a risolvere il sistema:

$ { ( 3x-3b>=0 ),( [4a(x-b)]^2=(3x-3b)^2 ):} rightarrow { ( 3x-3b>=0 ),( 16a^2x-16a^2b=9x^2-18xb+9b^2 ):} rightarrow$

$ {(3x-3b>=0),(16a^2x-16a^2b-9x^2+18xb-9b^2=0):} rightarrow {(3x-3b>=0),(-9x^2+(16a^2+18b)x-(16a^2b+9b^2)=0):} rightarrow$

$ {(3x-3b>=0),(9x^2-(16a^2+18b)x+(16a^2b+9b^2)=0):}$

dalla prima disequazione del sistema si vede che $x>=b$ per la seconda equazione ci ricaviamo le soluzioni:

$x_(1,2)=(16a^2+18b+-sqrt((16a^2+18b)^2-36(16a^2b+9b^2)))/18=$

$=(16a^2+18b+-sqrt(256a^4+576a^2b+324b^2-576a^2b-324b^2))/18= (16a^2+18b+-sqrt(256a^4))/18=$

$=(16a^2+18b+-16a^2)/18$

$x_1=b$ e $x_2=(32a^2+18b)/18=(16a^2+9b)/9$

Arrivati qui ho visto che siamo giunti alle stesse soluzioni, cioè con $x_1$ e $x_2$ soluzioni valide, per cui o ho commesso i tuoi stessi errori oppure penso che le soluzioni siano giuste

[@melia]

L'unico "errore" se così lo vogliamo chiamare, ma direi più l'unica leggerezza, è l'aver considerato $a$ come valore positivo, senza aver esplicitato questa cosa quando dici

"wall87":...
ora trasporto i termini in modo da averli tutti positivi e successivamente elevo al quadrato:

$2sqrt(x+a^2-b)=2a+sqrt(x-b) rightarrow (2sqrt(x+a^2-b))^2=(2a+sqrt(x-b))^2$

supponi che $a$ sia maggiore o uguale a zero altrimenti non avresti la certezza che i due membri siano entrambi positivi.

Ha agito bene vanpic, controllando l'accettabilità delle soluzioni a posteriori. In questo modo ha limitato il rischio di perdere delle condizioni di esistenza (in questo caso le limitazioni sul valore di $a$).

[vanpic]

Vi ringrazio molto per aver dedicato tempo a rispondermi e per la conferma sui risultati e sul metodo riguardo questo esercizio