Equazione irrazionale

[crow88]

Non riesco a "digerire" questa equazione irrazionale:

$sqrt(3x+4) + sqrt(x-3) = sqrt(x) + sqrt(3x-3)$

Esplicitato il dominio D=[3,+infinito)

Ho raccolto in diversi modi possibili e mi trovo sempre male, mi ritrovo sempre in loop un'equazione irrazionale con doppi prodotti etc.

Suggerimenti?

[axpgn]

Hai provato ad elevare al quadrato e poi spostare le radici da una parte e il resto dall'altra?
Mi sa che devi farlo tre volte ...

[@melia]

Eleva al quadrato così com'è e poi isola una radice ed eleva nuovamente al quadrato, isola l'ultima radice rimasta e di nuovo quadrato.

[axpgn]

Verificato, occorrono tre elevamenti però io sposto tutte le radici da una parte.

[crow88]

Ok, mi armo di pazienza:

$sqrt(3x+4)+sqrt(x-3)=sqrt(x)+sqrt(3x-3)=>
(sqrt(3x+4)+sqrt(x-3))^2=(sqrt(x)+sqrt(3x-3))^2=>
3x+4+x-3+2sqrt(3x+4)sqrt(x-3)=x+3x-3+2sqrt(x)sqrt(3x-3)=>
3x+4+x-3-x-3x+3=2sqrt(x)sqrt(3x-3)-2sqrt(3x+4)sqrt(3x+4)=>
(4)^2=(2sqrt(x)sqrt(3x-3)-2sqrt(3x+4)sqrt(x-3))^2=>
16=4(x)(3x-3)+4(3x+4)(x-3)+2(2)(2)sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3)=>
16=12x^2-12x+(12x+16)(x-3)+8sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3)=>
12x^2-12x+12x^2-36x+16x-48-16=-8sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3)=>
24x^2-32x-64=-8sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3)=>
8((3x^2-4x-8))/8=-8(sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3))/8=>
(3x^2-4x-8)^2=(-(sqrt(x)sqrt(3x-3)sqrt(3x+4)sqrt(x-3)))^2=>
9x^4+16x^2+64-24x^3-48x^2+64x=(x)(3x-3)(3x+4)(x-3)=>
9x^4-24x^3-32x^2+64x+64=9x^4-24x^3-21x^2-36x=
-11x^2+100x+64$

Capirete che con quel delta sono abbastanza infastidito

[axpgn]

A me viene $-11x^2+28x+64=0$
Dovresti semplificare un pochino nei vari passaggi ...
Comunque è un'equazione di secondo grado, niente di particolare ...

[crow88]

Trovato l'errore, sì era ora, quel -36x è un +36x. Logicamente conoscevo il risultato numerico finale dal testo ma non conoscevo a ritroso i valori corretti dell'equazione.
Comunque, di quell'equazione dato il dominio l'unica soluzione accettabile è +4.

[@melia]

Sono convinta che la mia proposta fosse più semplice, non ho mai polinomi alla quarta.
$ sqrt(3x+4) + sqrt(x-3) = sqrt(x) + sqrt(3x-3) $
$(sqrt(3x+4) + sqrt(x-3) )^2= (sqrt(x) + sqrt(3x-3))^2 $
$3x+4+x-3+2sqrt((3x+4) (x-3)) = x+3x-3+2sqrt((x) (3x-3)) $
$4+2sqrt((3x+4) (x-3)) = 2sqrt((x) (3x-3)) $
$(2+sqrt((3x+4) (x-3)))^2 = (sqrt((x) (3x-3)))^2 $
$4+4sqrt((3x+4) (x-3))+3x^2+4x-9x-12=3x^2-3x$
$4sqrt((3x+4) (x-3))=8+2x$
$(2sqrt((3x+4) (x-3)))^2=(4+x)^2$
$12x^2-20x-48=16+8x+x^2$
$11x^2-28x-64=0$ da cui le soluzioni $x_1=4$ accettabile e $x_2= -16/11$ non accettabile

[crow88]

"@melia":Sono convinta che la mia proposta fosse più semplice, non ho mai polinomi alla quarta.

E anche nettamente meglio della mia muraglia di calcoli!

[axpgn]

Io non ho fatto quella "muraglia" di calcoli