Equazione irrazionale
Buongiorno,
ho un esercizio con un'equazione irrazionale che non riesco a concludere. L'esercizio dice:
$(x-1-sqrt(x))/(x+5+sqrt(x)) = 1/2$
Lo risolvo mettendo per prima cosa il denominatore diverso da zero.
$x+5+sqrt(x) != 0$
che è una nuova equazione irrazionale. Lo risolvo, impostando un nuovo sistema di equazioni per restringersi alle soluzioni ammesse, facendo infine un "diverso da" una volta trovate le soluzioni.
$x+5+sqrt(x) = 0$
$sqrt(x) = -x-5$
$x=(-x-5)^2$ che diviene quindi il sistema
1. $-x-5 >= 0$
2. $x=(-x-5)^2$
risolvo 1.
$-x-5 >=0$
$x<-5$
risolvo 2.
trovo che $\Delta < 0$ quindi non ho soluzioni reali, allora è un'equazione impossibile (potrei però dire che con $a<0$ la funzione è sempre negativa).
Dato che 2. è impossibile tutto il sistema è impossibile.
Ma ho la soluzione e non dice questo; sapreste indicarmi l'errore? Grazie.
ho un esercizio con un'equazione irrazionale che non riesco a concludere. L'esercizio dice:
$(x-1-sqrt(x))/(x+5+sqrt(x)) = 1/2$
Lo risolvo mettendo per prima cosa il denominatore diverso da zero.
$x+5+sqrt(x) != 0$
che è una nuova equazione irrazionale. Lo risolvo, impostando un nuovo sistema di equazioni per restringersi alle soluzioni ammesse, facendo infine un "diverso da" una volta trovate le soluzioni.
$x+5+sqrt(x) = 0$
$sqrt(x) = -x-5$
$x=(-x-5)^2$ che diviene quindi il sistema
1. $-x-5 >= 0$
2. $x=(-x-5)^2$
risolvo 1.
$-x-5 >=0$
$x<-5$
risolvo 2.
trovo che $\Delta < 0$ quindi non ho soluzioni reali, allora è un'equazione impossibile (potrei però dire che con $a<0$ la funzione è sempre negativa).
Dato che 2. è impossibile tutto il sistema è impossibile.
Ma ho la soluzione e non dice questo; sapreste indicarmi l'errore? Grazie.
Risposte
Forse ti è sfuggito il fatto che stavi solo cercando il C.E. non la soluzione dell'equazione 
Peraltro il risultato a cui sei giunto ti dice che non esistono valori di $x$ che annullano il denominatore; quindi non c'è contraddizione.
Bene, se non fosse che ti sei dimenticato che hai pure una radice per cui deve essere $x>=0$ ...
Inoltre questo fatto, da solo, ti dice che il denominatore non può annullarsi in quanto nessuno dei suo termini può essere negativo
Cordialmente, Alex
Peraltro il risultato a cui sei giunto ti dice che non esistono valori di $x$ che annullano il denominatore; quindi non c'è contraddizione.
Bene, se non fosse che ti sei dimenticato che hai pure una radice per cui deve essere $x>=0$ ...
Inoltre questo fatto, da solo, ti dice che il denominatore non può annullarsi in quanto nessuno dei suo termini può essere negativo
Cordialmente, Alex
Ciao, grazie per la risposta.
Il campo di esistenza in questo caso sono "tutti i valori che rendono l'equazione diversa zero". Per trovarli non equivale a risolvere l'equazione?
Ottimo, ho capito diversi errori che ho fatto; il "diverso da" mi ha ingannato.
"axpgn":
Forse ti è sfuggito il fatto che stavi solo cercando il C.E. non la soluzione dell'equazione
Il campo di esistenza in questo caso sono "tutti i valori che rendono l'equazione diversa zero". Per trovarli non equivale a risolvere l'equazione?
"axpgn":
Bene, se non fosse che ti sei dimenticato che hai pure una radice per cui deve essere $x>=0$ ...
Inoltre questo fatto, da solo, ti dice che il denominatore non può annullarsi in quanto nessuno dei suo termini può essere negativo
Ottimo, ho capito diversi errori che ho fatto; il "diverso da" mi ha ingannato.
Il C.E. o dominio naturale o come lo vuoi chiamare è l'insieme delle $x$ che danno un "senso" all'equazione.
L'insieme delle $x$ che risolvono un'equazione sono un'altra cosa.
In questo caso, affinché l'equazione abbia senso, il denominatore deve essere diverso da zero e il radicando della radice quadrata non deve essere negativo.
Quello che hai fatto finora è il solo il primo punto della ricerca del C.E., poi devi anche risolvere l'equazione
Cordialmente, Alex
L'insieme delle $x$ che risolvono un'equazione sono un'altra cosa.
In questo caso, affinché l'equazione abbia senso, il denominatore deve essere diverso da zero e il radicando della radice quadrata non deve essere negativo.
Quello che hai fatto finora è il solo il primo punto della ricerca del C.E., poi devi anche risolvere l'equazione
Cordialmente, Alex
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