Equazione irrazionale
Salve a tutti, sono nuovo e mi congratulo con gli amministratori per il sito e per il forum.
Avrei una domanda da farvi riguardo a questa equazione:
$root(3)(x^2-x)=sqrt(x)$
ho posto le condizioni di esistenza, cioè \(\displaystyle x\geq0 \) e \(\displaystyle x^2-x\geq0 \)
il sistema delle C.E. risulta \(\displaystyle x=0 V x\geq 1 \)
non riesco però a risolvere l'equazione.
Il risultato è $x=0 V x=frac{3+sqrt(5)}{2}$
Vi ringrazio in anticipo
Avrei una domanda da farvi riguardo a questa equazione:
$root(3)(x^2-x)=sqrt(x)$
ho posto le condizioni di esistenza, cioè \(\displaystyle x\geq0 \) e \(\displaystyle x^2-x\geq0 \)
il sistema delle C.E. risulta \(\displaystyle x=0 V x\geq 1 \)
non riesco però a risolvere l'equazione.
Il risultato è $x=0 V x=frac{3+sqrt(5)}{2}$
Vi ringrazio in anticipo
Risposte
Ciao tem! Se me lo chiedi non lo saranno 
pongo solo la condizione $x>=0$ ?
Dato che $x^2-x$ è sotto radice cubica e quindi non c'è da studiare il segno
pongo solo la condizione $x>=0$ ?Dato che $x^2-x$ è sotto radice cubica e quindi non c'è da studiare il segno
Prima della risoluzione, ho una domanda. Io ho fatto le condizione della radice cubica perché è un equazione in cui compare una radice cubica=a una radice quadrata. Dato che la radice quadrata deve essere sempre $>=0$ , non dobbiamo porre che anche la radice cubica la sia?
Ora ci sono riuscito!!
In pratica ho elevato al quadrato ambo i membri trovando $root(3)(x^4-2x^3+x^2)=x$
Poi elevo tutto al cubo e infine metto x in evidenza.
Ora ci sono riuscito!!
In pratica ho elevato al quadrato ambo i membri trovando $root(3)(x^4-2x^3+x^2)=x$
Poi elevo tutto al cubo e infine metto x in evidenza.
Un altra cosa. Avrei bisogno per questa equazione, un pò più complessa:
$frac{2}{sqrt(4x+5)}=frac{9}{sqrt(4x^2+x-5)}-frac{1}{sqrt(x-1)}$
Dopo aver posto le condizioni (risultato delle C.E. è $x>=1$)
trasformo l'equazione in questo modo, è corretto? $(9sqrt(4x+5)+18sqrt(x-1))^2=(2sqrt(4x^2+x-5))^2$
Ve lo chiedo perché dopo vengono dei calcoli esagerati.
$frac{2}{sqrt(4x+5)}=frac{9}{sqrt(4x^2+x-5)}-frac{1}{sqrt(x-1)}$
Dopo aver posto le condizioni (risultato delle C.E. è $x>=1$)
trasformo l'equazione in questo modo, è corretto? $(9sqrt(4x+5)+18sqrt(x-1))^2=(2sqrt(4x^2+x-5))^2$
Ve lo chiedo perché dopo vengono dei calcoli esagerati.
Ti credo, $(4x+5)*(x-1)=4x^2+x-5$, il denominatore comune, quindi, è $sqrt(4x^2+x-5)$, dopo il primo passaggio dovresti ottenere $2sqrt(x-1)=9-sqrt(4x+5)$, isola il 9, così non ti servono ulteriori condizioni ... la soluzione mi viene $x=5$
Vi ringrazio Tem e melia.
Tem,riguardo alla domanda che ti ho posto, dato che avevamo $root(3)(x^2-x)=sqrt(x)$, quindi solo due fattori, non devo porre le condizioni alla radice cubica come se ci trovassimo nel caso $root(n)(A(x))=B(x)$?
Tem,riguardo alla domanda che ti ho posto, dato che avevamo $root(3)(x^2-x)=sqrt(x)$, quindi solo due fattori, non devo porre le condizioni alla radice cubica come se ci trovassimo nel caso $root(n)(A(x))=B(x)$?
"TeM":
... delle quali solamente quella positiva è accettabile
Occhio, TeM! Le soluzioni sono entrambe positive. Era invece corretta l'osservazione fatta da cardilero: prima di elevare a quadrato occorre controllare che i due membri abbiano lo stesso segno e quindi imporre $x^2-x>=0$: è quindi giusta la sua limitazione $x=0 vv x>=1$ e l'ha solo chiamata con un nome sbagliato.
Grazie per il vostro aiuto, ora ho una disequazione un pò più complessa:
$frac{sqrt(x^2+1)+|x|}{sqrt(|x-9|)+sqrt(|x^2-9x|)}>0$
Io, secondo me, sbaglio lo studio del valore assoluto. Allora, ho messo a sistema:
$|x|>=0$
$|x-9|>=0$
il terzo radicando è incluso nei primi due studi dei valori assoluti? in quanto $x^2-9x=x(x-9)$
Correggetemi magari gli errori, vi ringrazio in anticipo.
$frac{sqrt(x^2+1)+|x|}{sqrt(|x-9|)+sqrt(|x^2-9x|)}>0$
Io, secondo me, sbaglio lo studio del valore assoluto. Allora, ho messo a sistema:
$|x|>=0$
$|x-9|>=0$
il terzo radicando è incluso nei primi due studi dei valori assoluti? in quanto $x^2-9x=x(x-9)$
Correggetemi magari gli errori, vi ringrazio in anticipo.
stai parlando della proprietà $sqrt(x^2)=|x|$?
Abbiamo tre radici che per forza di cose devono essere maggiori di zero.Sia il numeratore che il denominatore sono sempre positivi.
ah!! forse ho capito se $x=9$ avremmo il denominatore nullo: $sqrt(9-9)+sqrt(81-81)$
quindi $x!=9$
se $x=9$ avremmo il denominatore nullo: $sqrt(9-9)+sqrt(81-81)$quindi $x!=9$
Per ogni x appartenente ad R escluso 9
Grazie per l'ottimo ragionamento che mi hai fatto fare
Concludo, per ora, il capitolo delle equazioni e disequazioni irrazionali. Oggi mi sono venute tutte tranne una, questa:
$(sqrt(2x^2-3x+1)-1)/(x-3-sqrt(x^2+2x))>0$
Ora vi elenco i passaggi che ho fatto:
Inizio subito col porre a sistema
$2x^2-3x+1>=0$ $=>$ $x<=1/2$ V $x>=1$
e
$x^2+2x>=0$ $=>$ $x<=-2$ V $x>=0$
Le intersezioni del sistema sono: $x<=-2$ V $0<=x<=1/2$ V $x>=1$
Ora comincio la risoluzione della disequazione:
$N$
$sqrt(2x^2-3x+1)>1$
$2x^2-3x+1>1$
$2x^2-3x>0$
$x(2x-3)>0$
$x<0$ V $x>3/2$
$D$
$x-3>sqrt(x^2+2x)$
Dato che dobbiamo elevare al quadrato, pongo $x-3>0$ cioè $x>3$ da aggiungere alle condizioni di esistenza. Qua mi fermo perché dalle C.E. si nota già che il risultato non verrà.
$(sqrt(2x^2-3x+1)-1)/(x-3-sqrt(x^2+2x))>0$
Ora vi elenco i passaggi che ho fatto:
Inizio subito col porre a sistema
$2x^2-3x+1>=0$ $=>$ $x<=1/2$ V $x>=1$
e
$x^2+2x>=0$ $=>$ $x<=-2$ V $x>=0$
Le intersezioni del sistema sono: $x<=-2$ V $0<=x<=1/2$ V $x>=1$
Ora comincio la risoluzione della disequazione:
$N$
$sqrt(2x^2-3x+1)>1$
$2x^2-3x+1>1$
$2x^2-3x>0$
$x(2x-3)>0$
$x<0$ V $x>3/2$
$D$
$x-3>sqrt(x^2+2x)$
Dato che dobbiamo elevare al quadrato, pongo $x-3>0$ cioè $x>3$ da aggiungere alle condizioni di esistenza. Qua mi fermo perché dalle C.E. si nota già che il risultato non verrà.
Solo un piccolo particolare: il campo di esistenza include anche $x>=1$ e quindi, a questo punto dei calcoli, il denominatore potrebbe anche essere positivo. A parte questo, l'osservazione di TeM è giustissima.
Rispondo solo ora, non ho avuto il tempo di connettermi. Comunque mille grazie Tem, sempre molto disponibile
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