Equazione in due variabili
Salve,
ho da risolvere il seguente esercizio:
Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri interi tali che:
x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006
Come posso impostarlo?
Grazie per l'aiuto
ho da risolvere il seguente esercizio:
Determinare tutte le coppie (x,y) di numeri interi tali che:
x^4+3x^2y^2+9y^4 = 12^2006
Come posso impostarlo?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Io ho avuto un idea per semplificare quell'equazione... Però credo di essere ancora distante dalla soluzione...
La riscrivo come $x^4+3(x^2y^2+9y^4)=12^2006$. Se passo ai moduli di classe $3$ ottengo $(x^4)mod 3 + [3(x^2y^2+9y^4)]mod 3 = (12^2006)mod 3$, ossia $(x^4)mod 3 = 0$, da cui deduco $(x mod 3)^4 = 0$ e cioè $x mod 3 = 0 rarr x = 3k$. A questo punto vado a sostituire nell'equazione di partenza, ottenendo $81k^4 + 3(9k^2y^2+9y^4)=12^2006 rarr 3k^4+y^2(k^2+y^2)=12^2006/3^3=2^40012*3^2003$...
In realtà non so se quest'osservazione può davvero risultare utile per la risoluzione del problema... per adesso non vedo proprio come sfruttarla, comunque la posto lo stesso, magari potrebbe servire a qualcuno più bravo di me...
La riscrivo come $x^4+3(x^2y^2+9y^4)=12^2006$. Se passo ai moduli di classe $3$ ottengo $(x^4)mod 3 + [3(x^2y^2+9y^4)]mod 3 = (12^2006)mod 3$, ossia $(x^4)mod 3 = 0$, da cui deduco $(x mod 3)^4 = 0$ e cioè $x mod 3 = 0 rarr x = 3k$. A questo punto vado a sostituire nell'equazione di partenza, ottenendo $81k^4 + 3(9k^2y^2+9y^4)=12^2006 rarr 3k^4+y^2(k^2+y^2)=12^2006/3^3=2^40012*3^2003$...
In realtà non so se quest'osservazione può davvero risultare utile per la risoluzione del problema... per adesso non vedo proprio come sfruttarla, comunque la posto lo stesso, magari potrebbe servire a qualcuno più bravo di me...
pardon ma non conosco i moduli di classe...
$x^4+3x^2y^2+9y^4=12^2006=9^1003*16^1003$
Facciamo la seguente considerazione: il primo membro è ovviamente pari.
Siccome è costituito dalla somma di tre addendi, o sono tutti pari, o sono uno pari e due dispari.
Supponiamo ad esempio $x$ pari, quindi $x^4$ è pari, ma allora anche $3x^2y^2$ lo è, e anche il terzo addendo, ovvero $9y^2$, deve esserlo.
Insomma, $x,y$ sono pari, quindi poniamo
$x=2x_1$ e $y=2y_1$, e sostituendo
$16x_1^4+3*16x_1^2y_1^2+9*16y_1^4=9^1003*16^1003$
Possiamo dividere per 16, e abbiamo
$x_1^4+3x_1^2y_1^2+9y_1^4=9^1003*16^1002$
Ma ora possiamo fare come prima, visto che per lo stesso ragionamento risulta $x_1$ pari e $y_1$ pari.
Questo procedimento va avanti per 1003 volte, finché non si arriva a
$x_1003^4+3x_1003^2y_1003^2+9y_1003^4=9^1003$
Si ha tra l'altro $x=2^1003x_1003$ e $y=2^1003x_1003$
Come vedete, si semplifica la cosa.
Lo stesso procedimento ora potete adottarlo per eliminare anche il $9^1003$, forse con un'accortezza in più.
Chi prova?
Ciao.
Facciamo la seguente considerazione: il primo membro è ovviamente pari.
Siccome è costituito dalla somma di tre addendi, o sono tutti pari, o sono uno pari e due dispari.
Supponiamo ad esempio $x$ pari, quindi $x^4$ è pari, ma allora anche $3x^2y^2$ lo è, e anche il terzo addendo, ovvero $9y^2$, deve esserlo.
Insomma, $x,y$ sono pari, quindi poniamo
$x=2x_1$ e $y=2y_1$, e sostituendo
$16x_1^4+3*16x_1^2y_1^2+9*16y_1^4=9^1003*16^1003$
Possiamo dividere per 16, e abbiamo
$x_1^4+3x_1^2y_1^2+9y_1^4=9^1003*16^1002$
Ma ora possiamo fare come prima, visto che per lo stesso ragionamento risulta $x_1$ pari e $y_1$ pari.
Questo procedimento va avanti per 1003 volte, finché non si arriva a
$x_1003^4+3x_1003^2y_1003^2+9y_1003^4=9^1003$
Si ha tra l'altro $x=2^1003x_1003$ e $y=2^1003x_1003$
Come vedete, si semplifica la cosa.
Lo stesso procedimento ora potete adottarlo per eliminare anche il $9^1003$, forse con un'accortezza in più.
Chi prova?
Ciao.
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