Equazione goniometrica risolvibile con formula di addizione

[first100]

tg(x+30°)+tg(60°-x)=2
risultato 15°+k360°

buonasera , ho problemi nel risolvere questo esercizio ho provato più volte ma ho troppi radicali e mi blocco

Grazie per l'aiuto

[jpg]

Fin dove sei arrivato? Hai provato a fare il denominatore comune delle due frazioni e sommarle?

(Scrivi le tue formule fra due simboli del dollaro, così verranno visualizzate correttamente!)

[minomic]

Ciao, ti propongo un metodo alternativo che rende tutto molto più semplice.
Notiamo che $60°-x = 90°-(x+30°)$ quindi poniamo $x+30°=\alpha$ e otteniamo$$
\tan \alpha + \tan(90°-\alpha)=2\\
\tan \alpha + \cot \alpha = 2\\
\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = 2\\
\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = 2\\
2\sin \alpha \cos \alpha = 1\\
\sin (2\alpha) = 1\\
2\alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}
$$Torniamo alla $x$ e troviamo il risultato che ci aspettavamo.
Comunque prova anche a rivedere i calcoli e procedere con il metodo usuale.

[@melia]

Dopo la prima acuta osservazione di minomic sarei andata solo di tangente
$tan(x+30°)+tan(60°-x)=2$
$tan(x+30°)+tan(90°-(x+30°))=2$
$tan(x+30°)+1/tan(x+30°)=2$
$tan^2(x+30°)+1-2tan(x+30°)=0$
$(tan(x+30°)-1)^2=0$
$tan(x+30°)=1$
da cui la soluzione.

[minomic]

"@melia":Dopo la prima acuta osservazione di minomic sarei andata solo di tangente

Sì hai ragione, così è ancora meglio!

[first100]

Grazie a tutti , io l'ho fatta con le formule di addizione e sottrazione facendo il mcm, ma diventa una equazione molto grande e complicata anche se mi sembra strano perchè dovrebbe uscire anche così.

[minomic]

Il tempo di scriverla e ti posto la soluzione con i vari passaggi.

[minomic]

$$\frac{\tan x + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3} \tan x} + \frac{\sqrt{3} - \tan x}{1+\sqrt{3}\tan x} = 2$$
$$\frac{3\tan x + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3-\sqrt{3}\tan x} + \frac{\sqrt{3} - \tan x}{1+\sqrt{3} \tan x} = 2$$
Semplifico il $3$ e, nel primo prodotto tra frazioni divido tutti i termini per $\sqrt{3}$
$$\frac{\sqrt{3}\tan x + 1}{\sqrt{3} - \tan x} + \frac{\sqrt{3} - \tan x}{\sqrt{3}\tan x + 1} = 2$$
$$3\tan^2 x + 1 + 2\sqrt{3}\tan x + 3 + \tan^2 x - 2\sqrt{3}\tan x = 2 \left(\sqrt{3} - \tan x\right) \left(\sqrt{3}\tan x + 1\right)$$
$$4\tan^2 x + 4 = 2 \left(3\tan x + \sqrt{3} - \sqrt{3}\tan^2 x - \tan x\right)$$
$$4\tan^2 x + 4 = 4\tan x - 2\sqrt{3} \tan^2 x + 2\sqrt{3}$$
$$\left(4+2\sqrt{3}\right)\tan^2 x - 4\tan x + \left(4-2\sqrt{3}\right) = 0$$
$$\tan x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4-16+12}}{4+2\sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$$
Facendo l'arcotangente trovi $15^{\circ}$.
Comunque attenzione perchè il periodo non è $360^{\circ}$ ma $180^{\circ}$.

[giammaria2]

Se usate quest'ultimo metodo, non dimenticate di controllare se $x=90°+k*180°$ è una soluzione: se lo fosse, non sarebbe trovata. Il campo di esistenza è opportuno con tutti i metodi.

[first100]

Grazie per le risposte, per minomic: io avevo fatto così solo che l'equazione di 2° grado aveva i coefficienti un pò diversi quindi avrò sbagliato i calcoli , grazie infinitamente per l'aiuto

[minomic]

"first100":Grazie per le risposte, per minomic: io avevo fatto così solo che l'equazione di 2° grado aveva i coefficienti un pò diversi quindi avrò sbagliato i calcoli , grazie infinitamente per l'aiuto

Prego!