Equazione goniometrica problematica
Ho un altro problema con un'equazione goniometrica, non capisco perchè applicando i classici metodi non funziona.
$sin(x)+sqrt(3)sin(x/2)=0$
$sqrt(3)sin(x/2)=-sin(x)$
$sqrt(3)sqrt((1-cos(x))/2)=-sin(x)$
$sqrt((3-3cos(x))/2)=-sin(x)$
$(3-3cos(x))/2=sin(x)^2$
$(3-3cos(x))/2=1-cos(x)^2$
$3-3cos(x)=2-2cos(x)^2$
$2cos(x)^2-3cos(x)+1=0$
$cos(x)=t$
$2t^2-3t+1=0$
$t_1=1$
$t_2=1/2$
Prima soluzione:
$cos(x)=1$
$x=2kpi$
Seconda soluzione:
$cos(x)=1/2$
$x=pi/3+2kpi$
$x=5/3pi+2kpi$
Invece le soluzioni del libro sono:
$2kpi, 5/3pi+4kpi, 7/3pi+4kpi$
Non riesco a capire dove sbaglio.Potreste aiutarmi per favore?
$sin(x)+sqrt(3)sin(x/2)=0$
$sqrt(3)sin(x/2)=-sin(x)$
$sqrt(3)sqrt((1-cos(x))/2)=-sin(x)$
$sqrt((3-3cos(x))/2)=-sin(x)$
$(3-3cos(x))/2=sin(x)^2$
$(3-3cos(x))/2=1-cos(x)^2$
$3-3cos(x)=2-2cos(x)^2$
$2cos(x)^2-3cos(x)+1=0$
$cos(x)=t$
$2t^2-3t+1=0$
$t_1=1$
$t_2=1/2$
Prima soluzione:
$cos(x)=1$
$x=2kpi$
Seconda soluzione:
$cos(x)=1/2$
$x=pi/3+2kpi$
$x=5/3pi+2kpi$
Invece le soluzioni del libro sono:
$2kpi, 5/3pi+4kpi, 7/3pi+4kpi$
Non riesco a capire dove sbaglio.Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
Se elevi impunemente al quadrato qualche problema te lo devi aspettare ...
Potresti spiegarmi perchè salta fuori quel problema?
Non è il caso di passare da una goniometrica ad una irrazionale, così puoi solo farti male. Non è importante che l'angolo si chiami $x$, l'importante è che si usi un unico angolo, quindi, invece di trasformare il seno dell'angolo metà, è meglio dimezzare $x$
$ sin(x)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ lo riscrivo come $ sin(2x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ applico le formule di duplicazione del seno $ 2sin(x/2)cos(x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ e poi raccoglimento e legge di annullamento del prodotto.
$ sin(x)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ lo riscrivo come $ sin(2x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ applico le formule di duplicazione del seno $ 2sin(x/2)cos(x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0 $ e poi raccoglimento e legge di annullamento del prodotto.
Grazie melia per quest'alternativa, ma vorrei capire perchè mi spunat quell'errore pur applicando un metodo valido.
Perché il metodo non è valido: essendo un'equazione irrazionale devi porre le condizioni prima di elevare alla seconda.
Ok quindi devo porre radicando maggiore o uguale a zero e $sin(x)>0$ giusto?
NO!!!!!
Il secondo membro deve avere lo stesso segno del primo, quindi $-sinx>=0$, però è anche vero che le formule di bisezione non sono quelle che hai scritto tu, ma $sin (x/2)= +-sqrt((1-cosx)/2)$.
Caro olegfresi, ho deciso di non aiutarti più.
Non voglio alimentare la tua mania di scegliere strade impervie e di volere un aiuto per poter arrivare, comunque, ad una soluzione.
Il secondo membro deve avere lo stesso segno del primo, quindi $-sinx>=0$, però è anche vero che le formule di bisezione non sono quelle che hai scritto tu, ma $sin (x/2)= +-sqrt((1-cosx)/2)$.
Caro olegfresi, ho deciso di non aiutarti più.
Non voglio alimentare la tua mania di scegliere strade impervie e di volere un aiuto per poter arrivare, comunque, ad una soluzione.
Che scuola fai?
Va bene melia, grazie lo stesso per l'aiuto. Faccio il liceo liscientifico, sono in quarta quest'anno.
E devi imparare a riflettere molto prima di chiedere aiuto o di scrivere qualcosa. Non stai facendo domande stupide, affatto. Piuttosto ti arrampichi sugli specchi, ma va benissimo. 
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