Equazione goniometrica con parametro

[gcappellotto47]

Buongiorno

sono in difficoltà con questa equazione goniometrica:

\[\begin{cases}
k \tan^2 x+\tan x+1-2k=0\\
0\leq 0 \leq \frac{\pi}{2}
\end{cases}\]

ho sostituito $X=\tan x$

\[\begin{cases}
k X^2+X+1-2k=0\\
X=\tan x\\
0 \leq X < +\infty
\end{cases}\]

provo con il metodo della parabola fissa:

\[\begin{cases}
Y=X^2\\
k Y+X+1-2k=0\\
X=\tan x\\
0 \leq X < +\infty
\end{cases}\]

trovo il centro del fascio proprio di rette che dovrebbe essere:
$P=(-1,2)$

ma a questo punto mi trovo in difficoltà soprattutto per la presenza di $+\infty$, come posso fare?

Grazie e saluti
Giovanni C.

[@melia]

Non devi scrivere $0<=X<+oo$, ma semplicemente $X>=0$

Il centro del fascio è interno alla parabola, quindi la soluzione può essere solo una.
In $(0,0)$ si ottiene $k=1/2$, gli altri due capisaldi sono
- la retta per P parallela all'asse della parabola, con la quale si ottiene $k=0$
- la retta limite del fascio, ovvero la retta $Y=2$
Siccome la retta limite è all'interno dell'intervallo, devi prendere i valori esterni a quelli che hai trovato per $k$, quindi
una soluzione per $k<0 vv k>=1/2$

Sono stata un po' sintetica, se hai bisogno di chiarimenti, chiedi.

Ho corretto secondo le indicazioni del mio "angelo custode" osolux, che, come al solito, ringrazio.

[orsoulx]

Streghe sempre un po' distratte...: nell'ottima soluzione di @melia il risultato finale ha l'uguale traslocato
Ciao