Equazione goniometrica
Salve a tutti, ho un dubbio con un'equazione goniometrica:
$cos^2x-senxcosx=0$
Sembrerebbe un'equazione omogenea, per cui divido tutto per $cos^2x$ e giungo alla forma: $tgx=1$
Le soluzioni dovrebbero essere $pi/4+kpi$, tuttavia il libro porta una seconda soluzione:$pi/2+kpi$, a me sembra strano, sia perché non lo ottengo da nessuna parte e sia perché la tangente per $pi/2+kpi$ non esiste!!!
Sbaglio??
Grazie a tutti.
Aggiornamento: Ho provato a risolverla in un altro modo, ed ottengo tutte e due le soluzioni del libro
$cosx(cosx-senx)=0$
Quindi ho due equazioni: $cosx=0$ e $cosx-senx=0$
dalla prima ottengo $pi/2+kpi$ e dalla seconda $pi/4+kpi$
Perchè con questo metodo ottengo tutte le soluzioni mentre con l'altro no?!
$cos^2x-senxcosx=0$
Sembrerebbe un'equazione omogenea, per cui divido tutto per $cos^2x$ e giungo alla forma: $tgx=1$
Le soluzioni dovrebbero essere $pi/4+kpi$, tuttavia il libro porta una seconda soluzione:$pi/2+kpi$, a me sembra strano, sia perché non lo ottengo da nessuna parte e sia perché la tangente per $pi/2+kpi$ non esiste!!!
Sbaglio??
Grazie a tutti.
Aggiornamento: Ho provato a risolverla in un altro modo, ed ottengo tutte e due le soluzioni del libro
$cosx(cosx-senx)=0$
Quindi ho due equazioni: $cosx=0$ e $cosx-senx=0$
dalla prima ottengo $pi/2+kpi$ e dalla seconda $pi/4+kpi$
Perchè con questo metodo ottengo tutte le soluzioni mentre con l'altro no?!
Risposte
"Francesco.93":
$cos^2x-senxcosx=0$
.. divido tutto per $cos^2x$ e giungo alla forma: $tgx=1$
Prima di dividere tutto per $cos^2x$ devi verificare se non perdi delle soluzioni.
Ed in questo caso perché perdo soluzioni? Per il fatto che il termine noto è nullo?
No, perchè dividi per una quantità che potrebbe essere soluzione dell'equazione.
se $cos^2x=0$ (cioè se $x=pi/2+k*pi$), allora l'equazione $cos^2x-senx*cosx=0$ è verificata.
E' un po' come se si avesse:
$x^2+3x=0$
Procedimento 1 (sbagliato): "Divido per $x$ e ottengo $x+3=0=>$ c'è una sola solzione, ovvero $x=-3$"
Procedimento 2 (corretto): "Raccolgo $x$ e ottengo $x(x+3)=0=>$ ci sono due soluzioni, ovvero $x=0 vv x=-3$".
Ok?
se $cos^2x=0$ (cioè se $x=pi/2+k*pi$), allora l'equazione $cos^2x-senx*cosx=0$ è verificata.
E' un po' come se si avesse:
$x^2+3x=0$
Procedimento 1 (sbagliato): "Divido per $x$ e ottengo $x+3=0=>$ c'è una sola solzione, ovvero $x=-3$"
Procedimento 2 (corretto): "Raccolgo $x$ e ottengo $x(x+3)=0=>$ ci sono due soluzioni, ovvero $x=0 vv x=-3$".
Ok?
E perché nelle omogenee non si corre questo rischio?
Guarda che anche $cos^2x-senxcosx=0$ è una equazione goniometrica omogenea (di secondo grado).
In generale, le omogenee di secondo grado sono tutte di questo tipo: $a*cos^2x+b*sinx*cosx+c*sin^2x=0$
Nel nostro caso abbiamo $a=1$, $b=-1$, $c=0$
Qui è spiegata tutta la teoria che c'è da sapere sulle equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado. Leggila con attenzione.
In generale, le omogenee di secondo grado sono tutte di questo tipo: $a*cos^2x+b*sinx*cosx+c*sin^2x=0$
Nel nostro caso abbiamo $a=1$, $b=-1$, $c=0$
Qui è spiegata tutta la teoria che c'è da sapere sulle equazioni trigonometriche omogenee di secondo grado. Leggila con attenzione.
Ok, rileggerò con attenzione tutta la teoria a riguardo. Grazie delle risposte!
Ho trovato la risposta: "Se a = 0 oppure c = 0, l'equazione si può scomporre in fattori"
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo