Equazione Goniometrica (60691)

[victorinox]

buona sera, volevo chiedervi cortesemente di aiutarmi con questa equazione goniomentrica. mi servirebbe entro questa sera. sareste così gentili da spiegarmi come si fa, perchè ne ho molte altre, tutte simili. Grazie a tutti.

[math](1-sin\alpha cos\alpha)(1+sin\alpha cos\alpha)- \frac{ sin\alpha cos^3\alpha}{
tan\alpha}[/math]

il risultato è

[math]sin^2\alpha[/math]

grazie a tutti... ciao :hi

Aggiunto 15 minuti più tardi:

Grazie per la correzione, mi sono espresso male. Comunque sia, ti ringrazio per l'esercizio, siete stato davvero molto chiaro e SUPER veloce! :thx

[BIT5]

Per prima cosa questa non e' un'equazione ma un'espressione.

Infatti ti si chiede di fare qualche conto per calcolare il risultato, non di trovare il valore di un'incognita affinche' un'uguaglianza sia verificata (l'uguaglianza non c'e'!)

Detto questo, devi ricordarti semplicemente due relazioni fondamentali:

[math] \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\ \\ \\ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} [/math]

Consideriamo dunque il primo prodotto:

[math] \( 1 - \sin \alpha \cos \alpha \)\( 1 + \sin \alpha \cos \alpha \) [/math]

Questo e' un prodotto notevole del tipo

[math] (a-b)(a+b)=a^2-b^2 [/math]

Pertanto il risultato sara'

[math] 1^2 - \( \sin \alpha \cos \alpha \)^2 = 1 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha [/math]

Considera ora il secondo addendo:

[math] \frac{\no{\sin \alpha} \cos^3 \alpha}{\frac{\no{\sin \alpha}}{\cos \alpha}} = \cos^4 \alpha [/math]

L'espressione dunque ora e'

[math] 1 - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha[/math]

Dalla prima relazione che ti ho scritto (relazione fondamentale della trigonometria)otteniamo che

[math] \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \to \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha [/math]

Sostituiamo

[math] 1 - \( 1 - \cos^2 \alpha ) \cos^2 \alpha - \cos^4 \alpha[/math]

Moltiplichiamo

[math] 1 - \cos^2 \alpha + \no{\cos^4 \alpha} - \no{\cos^4 \alpha} =1- \cos^2 \alpha[/math]

E sempre ricordando la relazione fondamentale della trigonometria

[math] \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha [/math]

Hai il risultato cercato :)