Equazione goniometrica

[Nausicaa912]

ho quest'equazione:
2(2- radical2) cos(al quadrato)x/2 + tgx = 0

si deve trovare 360k-45° e 360k + 180°

Io non mi trovo.. trasformo cosalquadrato x/2 in 1 + cosx/2 e poi semplifico il 2.. Ma poi non so più andare avanti.. Qualcuno mi aiuta?

[piero_1]

"Nausicaa91":ho quest'equazione:
2(2- radical2) cos(al quadrato)x/2 + tgx = 0

l'equazione sarebbe questa?

$2(2-sqrt2)cos^2(x/2)+tgx=0

[Nausicaa912]

si esattamente!

[piero_1]

$2(2-sqrt2)cos^2(x/2)+tgx=0$

a questo punto con qualche calcolo dovresti essere qui

$(2-sqrt2)cosx+tgx+2-sqrt2=0

[piero_1]

$tgx=(sqrt2-2)(1+cosx)$ (*)
elevando al quadrato ambo i membri e sostituendo $tg^2x=(1-cos^2x)/(cos^2x)$
si ottiene un'equazione in cui compare solo il coseno.
Liberiamo dal denominatore, condizione: $cosx!=0$
trascrivo l'equazione ottenuta, ponendo $cosx=z$, per comodità:
$(6-4sqrt2)z^4+(12-8sqrt2)z^3+(7-4sqrt2)z^2-1=0$
scomponendo con Ruffini:
$(z+1)(z-sqrt2/2)[(6-4sqrt2)z^2+(2-sqrt2)z+sqrt2]=0$
da cui:
$cosx=-1$ cioè $x=180° +k360°$ e $cosx=sqrt2/2$ cioè $x=-45°+k360°$
nota: la soluzione $x=45°+k360°$ non è accettabile, il che è verificabile per prova diretta (sostituendo nel testo), oppure osservando la (*) e
notando che deve essere $tgx<0$ (concordanza segno secondo membro).