Equazione goniometrica (?)

[TR0COMI]

C'è stato nella verifica appena affrontata un unico esercizio che mi ha dato problemi, di una tipologia mai affrontata, che ho risolto in maniera un po' confusionaria:
$tg4x+tg2x=sen6xsen2x$ così a intuito mi richiama le formule di Werner, ma le ho applicate senza concludere nulla. Stessa cosa per le formule di prostaferesi.

Come diavolo andava risolto?

[@melia]

"TR0COMI":C'è stato nella verifica appena affrontata un unico esercizio che mi ha dato problemi, di una tipologia mai affrontata, che ho risolto in maniera un po' confusionaria:
$tg4x+tg2x=sen6xsen2x$ così a intuito mi richiama le formule di Werner, ma le ho applicate senza concludere nulla. Stessa cosa per le formule di prostaferesi.

Prostaferesi della tangente $tg p+tg q=(sin(p+q))/(cosp*cosq)$
$(six6x)/(cos4x*cos2x)-sin6x*sin2x=0$ posto $cos4x!=0$ e $cos2x!=0$ l'esercizio diventa $(sin6x)*(1-cos4x*cos2x*sin2x)=0$
da cui $sin6x*(1-1/2*cos4x*sin4x)=0$ e poi $sin6x*(1-1/4*sin8x)=0$

[Steven11]

"@melia":$(sin6x)*(1-cos4x*cos2x*sin2x)=0$

Penso che qua possiamo già fermarci: infatti
$(1-cos4x*cos2x*sin2x)$ non si annulla mai, in quanto

$cos4x*cos2x*sin2x$ non può arrivare ad 1, essendo prodotto di valori minori di 1 in valore assoluto.

Quindi si risolve solo
$sin(6x)=0$

[TR0COMI]

Grazie sia ad @melia che a Steven.
Premesso che non ho mai visto la prostaferesi della tangente (la apprendo adesso, sul testo abbiamo solo prostaferesi di seno e coseno) direi che l'esercizio è chiaro.

Penso che qua possiamo già fermarci: infatti
non si annulla mai, in quanto

non può arrivare ad 1, essendo prodotto di valori minori di 1 in valore assoluto.

Quindi possiamo dire che se in un prodotto di più fattori almeno uno di essi non è 1, il prodotto non può essere 1. Perchè diciamo però anche che deve essere necessariamente minore di uno, nel nostro caso?

Ancora una curiosità: vi viene in mente qualche altro metodo per risolvere l'esercizio, che non utilizzi la prostaferesi della tangente? (Se infatti per ipotesi questo fosse l'unico metodo, avremmo tutte le ragioni per chiedere chiarimenti alla prof.).

[@melia]

Trasformando tutto in $sin2x$ e $cos2x$ a qualcosa si arriva, magari pensando $sin6x=sin(4x+2x)$, ma c'è una marea di calcoli.