Equazione goniometrica
Salve! mi sono imbattuto nella sequente equazione:
$1/2cosx-sqrt(3)sen(x/2)cos(x/2)$=$0$
dal momento che l'esponente è dispari ho posto $x/2$=t e $x$=$2t$
l'equazione diventa dunque:$1/2cos(2t)-sqrt(3)sentcost$=$0$
scomponendo $cos(2t)$ in $cos^2t-sen^2t$ dopo qualche passaggio ho dopo aver ottenuto una equazione omogenea ed aver diviso tutto per cos^2:
$tg^2x+2sqrt(3)tgx-1$=$0$ e risolta le soluzioni sono tgx=$2-sqrt(3)$ e tgx=$-2-sqrt(3)$ ora l'ultimo risultato posso ottenerlo solo con la calcolatrice mentre il primo corrisponde alla tangente a 15 gradi. ma siccome t=x/2 sarà:$tg(x/2)$=$15+k180$ e moltiplicando tutto per due:$tgx$=$30+k360$ il libro mi riporta come unico risultato k180+30. Sto sbagliando io o il libro?
$1/2cosx-sqrt(3)sen(x/2)cos(x/2)$=$0$
dal momento che l'esponente è dispari ho posto $x/2$=t e $x$=$2t$
l'equazione diventa dunque:$1/2cos(2t)-sqrt(3)sentcost$=$0$
scomponendo $cos(2t)$ in $cos^2t-sen^2t$ dopo qualche passaggio ho dopo aver ottenuto una equazione omogenea ed aver diviso tutto per cos^2:
$tg^2x+2sqrt(3)tgx-1$=$0$ e risolta le soluzioni sono tgx=$2-sqrt(3)$ e tgx=$-2-sqrt(3)$ ora l'ultimo risultato posso ottenerlo solo con la calcolatrice mentre il primo corrisponde alla tangente a 15 gradi. ma siccome t=x/2 sarà:$tg(x/2)$=$15+k180$ e moltiplicando tutto per due:$tgx$=$30+k360$ il libro mi riporta come unico risultato k180+30. Sto sbagliando io o il libro?
Risposte
Mi sa che $sin(x/2)cos(x/2)$ lo puoi vedere come $1/2 sinx$...
però gatto se io ho cos45sen45 il risultato è 1/2 ora 1/2(cos90sen90)=0 e non a 1/2
hai fatto un macello con l'uso delle formule, però credo di aver capito.
potevi naturalmente non imbarcarti in tale impresa, perché $sen(x/2)*cos(x/2)=1/2*sen(x)$, però la calcolatrice ti restituisce -75°, da cui x=-150°+k360°, ma le due soluzioni differiscono di 180°, per cui puoi scrivere in maniera compatta x=30°+k180°.
ti ricordo che è sbagliata la scrittura "tg(x/2)=15+k180" o "tgx=30+k360" ......... !!!
potevi naturalmente non imbarcarti in tale impresa, perché $sen(x/2)*cos(x/2)=1/2*sen(x)$, però la calcolatrice ti restituisce -75°, da cui x=-150°+k360°, ma le due soluzioni differiscono di 180°, per cui puoi scrivere in maniera compatta x=30°+k180°.
ti ricordo che è sbagliata la scrittura "tg(x/2)=15+k180" o "tgx=30+k360" ......... !!!
... che c'entra cos90 ? la formula non è mica così?
scusa adas perchè è sbagliata tale formula?:"tg(x/2)=15+k180" o "tgx=30+k360" diventa 30+k360 perchè moltiplico tutto per 2 in quanto è presente x/2 e non x!
la tangente non si misura in gradi ....
e poi Ada non ho capito perchè $sen(x/2)cos(x/2)$=$1/2senx$.Il mio risultato è equivalente a quello del libro?
"rofellone":
però gatto se io ho cos45sen45 il risultato è 1/2 ora 1/2(cos90sen90)=0 e non a 1/2
Infatti il $cos90$ non è nella formula.
E difatti $cos45sin45 = 1/2 = 1/2sin90$
Scusa Ada ma non ti seguo. Se ho tgx=1 dico x=45gradi + k180. perchè la tangente,dici,non si misura in gradi?
"rofellone":
e poi Ada non ho capito perchè $sen(x/2)cos(x/2)$=$1/2senx$.Il mio risultato è equivalente a quello del libro?
Dalla formula $sin2x = 2sinxcosx$
formula di duplicazione $alpha=x/2," "2alpha=x," "senx=2sen(x/2)cos(x/2)$
il tuo risultato è equivalente a quello del libro.
come ti ho detto in altre occasioni, se hai due soluzioni con periodicità 360, che però tra loro differiscono di 180, basta scriverne una con periodicità di 180 perché così le comprende entrambe.
il tuo risultato è equivalente a quello del libro.
come ti ho detto in altre occasioni, se hai due soluzioni con periodicità 360, che però tra loro differiscono di 180, basta scriverne una con periodicità di 180 perché così le comprende entrambe.
gatto come si arriva alla formula che hai scritto? io ho pensato che se sen(2x)=2senxcosx allora sen(1/2)=1/2cosxsenx. hai ragionato così? inoltre il mio risultato equivale a quello del libro?
Grazie Ada! però perchè prima mi hai detto che la tangente non si scrive in gradi?
"rofellone":
Scusa Ada ma non ti seguo. Se ho tgx=1 dico x=45gradi + k180. perchè la tangente,dici,non si misura in gradi?
se non è finita la valanga di messaggi intrecciati, ora rispondo a questo:
INFATTI: dici x=45...
non dici tgx=45.... (tgx=1, non tgx=45)
$sin2x = 2sinxcosx$ è una formula "nota".
Ponendo $y = 2x$, hai $siny = 2sin(y/2)cos(y/2)$ e moltiplicando tutte e due per $1/2$ ti ritrovi $1/2siny = sin(y/2)cos(y/2)$
Ponendo $y = 2x$, hai $siny = 2sin(y/2)cos(y/2)$ e moltiplicando tutte e due per $1/2$ ti ritrovi $1/2siny = sin(y/2)cos(y/2)$
Grazie ancora Ada! lì mi sono distratto e,sbagliando,ho scritto x= al posto di tgx=... mi scuso se ho intrecciato i messaggi però mi interessava la risoluzione così forse mi sono posto troppe domande in poco tempo! Grazie di nuovo a tutti e due. Ciao e a presto.
prego.
però l'errore era quello di scrivere tgx al posto di x e non il contrario...
però l'errore era quello di scrivere tgx al posto di x e non il contrario...
Scusa Ada ma oggi,come puoi vedere,sono alquanto distratto! 
Ciao e a presto!
Ciao e a presto!
non ti preoccupare. se è per questo, oggi sono alquanto distratta anch'io ...
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