Equazione goniometrica

[gabriele.castagnola]

Ragazzi mi date una mano con questa equazione:
$ ((1-sqrt(3) )sin 2x)/2= sin^2x -sqrt3cos^2x $

dividendo tutto per

$ cos^2x $

arrivo a

$ 2tan^2x -(1-sqrt3)tan x - 2 sqrt3 = 0 $

che non riesco a risolvere neanche con gli integrali doppi

i risultati sono $ x= pi/4 +k pi uu x=2/3pi +kpi $

[volaff1]

Prova la sostituzione tan^2x = t

Quando dividi per cos^2(x) ricorda che x deve essere diverso pi/2 + 2*k*pi (cioè i valori per il quale il coseno è nullo altrimenti non potresti fare la divisione)

[gabriele.castagnola]

già fatto ma quando vado a risolvere l'equazione di secondo grado non trovo valori per cui possa trovare angoli noti, anche utilizzando i radicali doppi

[@melia]

Guarda che $sin 2x= 2 sinx cosx$, l'equazione diventa $tan^2x -(1-sqrt3)tan x - sqrt3 = 0$

[anto_zoolander]

Integrali doppi?

Comunque.

$((1-sqrt3)sin2x)/2=sin^2x-sqrt(3)cos^2x$

la mossa di dividere tutto per $cos^2x$ è giusta, ma dividendo per questa quantità dobbiamo essere sicuri di non star dividendo per $0$, quindi dovremmo escludere $pi/2+kpi$ dalle soluzioni.

Vediamo prima se $pi/2$ o $(3pi)/2$ sono soluzioni.

$((1-sqrt3)sin(pi))/2=sin^2(pi/2)-sqrt(3)cos^2(pi/2)$ ovvero $0=1$ non è soluzione.

$((1-sqrt3)sin(3pi))/2=sin^2((3pi)/2)-sqrt(3)cos^2((3pi)/2)$ ovvero $0=1$ non è soluzione.

Quindi possiamo dividere, inoltre scriviamo $sin2x=2sinxcosx$

$((1-sqrt3)2sinxcosx)/(2cos^2x)=sin^2x/cos^2x-sqrt(3)cos^2(x)/cos^2x$

$(1-sqrt3)tanx=tan^2x-sqrt3$

Ordiniamola come $tan^2x-(1-sqrt3)tanx-sqrt3=0$ effettuiamo la sostituzione $tanx=t$

$t^2-(1-sqrt3)t-sqrt3=0$ e calcoliamo il delta $Delta=(1-sqrt3)^2+4sqrt3$

$Delta=4+2sqrt3$

otteniamo quindi $tanx=((1-sqrt3)pmsqrt(4+2sqrt3))/2$

le soluzioni potresti tranquillamente scriverle come:

$x=arctan(((1-sqrt3)+sqrt(4+2sqrt3))/2)+kpi$

$x=arctan(((1-sqrt3)-sqrt(4+2sqrt3))/2)+kpi$

al limite se li vuoi semplificare, puoi svolgere i quadratici doppi.. (cose che la memoria dimentica )

$sqrt(4+2sqrt3)=sqrt(4+sqrt12)$

$sqrt((4+sqrt(16-12))/2)+sqrt((4-sqrt(16-12))/2)$

$sqrt(3)+sqrt(1)$ ovvero $1+sqrt(3)$

e andando a sistemare le soluzioni troviamo il risultato più pulito.

$x=arctan(((1-sqrt3)+1+sqrt3)/2)+kpi$

$x=arctan(1)+kpi$ ovvero $x=pi/4+kpi$

ora risolviamo l'altra soluzione

$x=arctan(((1-sqrt3)-(1+sqrt3))/2)+kpi$

$x=arctan(-sqrt3)+kpi$ allora.. $arctan(-sqrt3)$ potrebbe essere tanto $(2pi)/3$ quanto $(5pi)/3$ ma siccome il $kpi$ fa si che ci siano tutte e due, scegliamo la prima

quindi, come da testo, le soluzioni dell'esercizio sono:

$x=(2pi)/3+kpi$

$x=pi/4+kpi$

[@melia]

Bellissimo lavoro, ma, calcolando il $Delta$ mi sarei fermata qui:

"anto_zoolander":
...
$t^2-(1-sqrt3)t-sqrt3=0$ e calcoliamo il delta $Delta=(1-sqrt3)^2+4sqrt3$

$Delta=(1-sqrt3)^2+4sqrt3=1-2sqrt3+3+4sqrt3=1+2sqrt3+3=(1+sqrt3)^2$

[anto_zoolander]

"@melia":Bellissimo lavoro, ma, calcolando il $Delta$ mi sarei fermata qui:
[quote="anto_zoolander"]
...
$t^2-(1-sqrt3)t-sqrt3=0$ e calcoliamo il delta $Delta=(1-sqrt3)^2+4sqrt3$

$Delta=(1-sqrt3)^2+4sqrt3=1-2sqrt3+3+4sqrt3=1+2sqrt3+3=(1+sqrt3)^2$[/quote]


Hai ragionissima. Alle 3 di notte non ci ho fatto proprio caso. Grazie per l'appunto